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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)欧拉的自然对数底e  

2008-02-06 09:30:18|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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当x趋于正无穷大或负无穷大时,“1加x分之一的x次方”这个函数表达式(1+1/x)^x的极限就等于e,用公式表示,即:

lim(1+1/x)^x=e  (x趋于±∞)

实际上e就是欧拉通过这个极限而发现的,它是个无限不循环小数,其值等于2.71828……。以e为底的对数叫做自然对数,用符号“ln”表示。

以e为底的对数(自然对数)和指数,从数学角度揭示了自然界的许多客观规律,比如指数函数“e的x次方”对x的微分和积分都仍然是函数本身。后人把这个规律叫做“自然律”,其中e是自然律的精髓。因此,上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一,并且名列第二。

欧拉(Leonhard Euler 公元1707-1783年) 1707年出生在瑞士的巴塞尔(Basel)城,13岁就进巴塞尔大学读书,得到当时最有名的数学家约翰•伯努利(Johann Bernoulli,1667-1748年)的精心指导。

欧拉渊博的知识,无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作,都是令人惊叹不已的!他从19岁开始发表论文,直到76岁,半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字,从初等几何的欧拉线,多面体的欧拉定理,立体解析几何的欧拉变换公式,四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数,微分方程的欧拉方程,级数论的欧拉常数,变分学的欧拉方程,复变函数的欧拉公式等等,数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心,《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作,当时数学家们称他为“分析学的化身”。

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,称为数学界的莎士比亚。据统计他那不倦的一生,共写下了886部书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%。彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了47年!数学史上称18世纪为“欧拉时代”。

欧拉还创设了许多数学符号,例如函数f(x)(1734年),π(1736年),log和 e(1748年),sin和cos(1748年),tg(1753年),△x(1755年),Σ(1755年),虚数i(1777年)等等。

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的,他可以在任何不良的环境中工作,他常常抱着孩子在膝上完成论文,也不顾13个孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,使他在59岁双目失明后的17年间,他还口述了几本书和400篇左右的论文。

19世纪伟大数学家高斯(Gauss,1777-1855年)曾说:“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”欧拉的父亲保罗•欧拉(Paul Euler)也是一个数学家,原希望小欧拉学神学,同时教他一点教学。由于小欧拉的才华和异常勤奋的精神,又受到约翰•伯努利的赏识和特殊指导,当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文,获得巴黎科学院的奖的奖金后,他的父亲就不再反对他攻读数学了。

1725年约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利赴俄国,并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉,这样,在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年,年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。

1735年,欧拉解决了一个天文学的难题(计算慧星轨道),这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决,而欧拉却用自己发明的方法,三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病,并且不幸右眼失明了,这时他才28岁。

1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请,到柏林担任科学院物理数学所所长,直到1766年,后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡,不料没有多久,左眼视力急剧衰退,最后也完全失明。

不幸的事情接踵而来。1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅,带病且双目失明的64岁的欧拉,被围困在大火中。虽然他被别人从火海中救了出来,但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。

沉重的打击,仍然没有使欧拉倒下,他发誓要把损失夺回来。欧拉完全失明以后,仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗,凭着记忆和心算进行研究,直到逝世,竟达17年之久。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的,他能够复述年青时代笔记的内容,心算并不限于简单的运算,高等数学一样可以用心算去完成。欧拉在失明的17年中,还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。

欧拉的风格是很高的,拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家,从19岁起和欧拉通信,讨论等周问题的一般解法,这引起变分法的诞生.等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题,拉格朗日的解法,博得欧拉的热烈赞扬,1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就,并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表,使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传,并赢得巨大的声誉。他晚年的时候,欧洲所有的数学家都把他当作老师,著名数学家拉普拉斯(Laplace)曾说过:“欧拉是我们的导师。”

欧拉充沛的精力保持到最后一刻,1783年9月18日下午,欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功,请朋友们吃饭,那时天王星刚发现不久,欧拉写出了计算天王星轨道的要领,还和他的孙子逗笑,喝完茶后,突然疾病发作,烟斗从手中落下,口里喃喃地说:“我死了”,欧拉终于“停止了生命和计算”。

欧拉的一生,是为数学发展而奋斗的一生,他那杰出的智慧,顽强的毅力,孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德,永远是值得我们学习的。

欧拉一生谦逊,从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于2.71828的自然对数的底,被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献,因此在许多数学分支中,反而经常见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

相对于π是希腊文字中圆周第一个字母,e的由来较不为人熟知。有人甚至认为:欧拉取自己名字的第一个字母e作为自然对数的底。

其实欧拉选择e的理由,较为多数人所接受的说法有二:一为在a,b,c,d等四个常被使用的字母后面,第一个尚未被经常使用的字母就是e,所以,他很自然地选了这个符号,代表自然对数的底数;另一说法为e是“指数”一词英文的第一个字母,虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文,可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟e的来历是什么?至今仍然是个谜。

(作者:周法哲2008-2-6于广东)

 

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