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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)圆的面积公式从何来?(图)  

2008-04-25 06:15:56|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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我们知道长方形(矩形)的面积等于长乘宽。正方形是特殊的矩形,即长与宽相等的矩形,面积等于边长乘边长,实质上仍然是长乘宽。三角形总能剪拼成矩形,这个矩形的长为三角形底边长的一半,矩形的宽为三角形的高,面积为三角形底边的一半乘以高,实质上也是长乘宽。如下图所示:

 

平行四边形很容易剪拼成矩形,矩形的长等于平行四边形的底边长,矩形的宽就是平行四边形的高,面积为平行四边形的底边长乘以高,实质上还是长乘宽。如下图所示:

 

综上所述,请朋友们记住:任何图形面积的本质就是“长乘宽”。

圆是宇宙中最普遍最自然也最神秘的几何图形,那么园的面积跟“长乘宽”有什么关系呢?

中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》(公元263年)中,对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”。他的思想方法如下图所示:

 

我们把这10个扇形一正一反拼在一起,如下图所示:

 

我们得到了一个大致的“矩形”,大致的矩形的长似乎接近圆周长的一半πR,宽似乎有点像圆的半径R。

如果我们把圆分成100个、1000个、10000个扇形,再用同样的方法拼在一起呢?得到的就是一个近似的矩形,长近似为半圆周长πR,宽近似为半径R。 

如果我们把圆分成无穷多个扇形,就可以拼成一个真正的矩形,长为πR,宽为R。它的面积为πR乘以R,即πR^2,实质上还是“长乘宽”。

 

所以我们今天人人皆知圆的面积公式为

刘徽的“割圆术”曰:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣。”实际上就是数学上的极限论思想。把一个圆分成无穷多个扇形,每个扇形的面积为无穷小,这就是“微分”的萌芽。再把这无穷多的小小扇形拼加成矩形,求出其面积,这就是原始的“积分”思想。中国古人的极限论和微积分思想比牛顿、莱布尼兹至少要早1000多年。

(作者:周法哲2008-4-25于珠海)

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