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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)现代微积分诞生的背景(图)  

2008-05-10 23:53:45|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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17世纪下半叶,经历了文艺复兴运动的欧洲,社会生产力得到空前的解放和提高。大量的实际问题推动着力学、天文学的发展。

例如,航海事业需要确定船只在大海中的位置,就要求精确地测定地球的经纬度和制造准确的时钟,于是促进了对天体运动的深入研究;船舶的改进,必须探讨流体以及物体在流体中运动规律;而在战争中,要求炮弹打得准确,则导致弹道学或抛物体运动的研究。

人们从大量这类课题的研究中,总结出力学的一些基本规律,诸如:开普勒(1571―1630)关于行星运动的定律;伽利略提出自由落体定律和惯性定律;牛顿总结出力学三大定律等。

在各种各样力学运动的研究中,最基本的核心问题是两个:

1、已知路程求速度;

2、已知速度求路程。

在匀速运动的情况下,只用初等数学就可以解决这两个问题:

1、速度=路程÷时间;

2、路程=速度×时间。

但是,17世纪人们面对着种种变速运动问题,初等数学就无能为力了。

如果速度为变量,初等数学或常量数学无法描述变速运动中时间、位置和速度之间的复杂关系。这一矛盾要求数学研究突破常量的传统范围,寻求能够描述和研究变速运动的新工具——变量数学。微积分就是变量数学的基础内容。

对于变速运动,速度是随时间变化的函数:v=v(t),可以用v-t平面坐标系中的曲线表示,如下图。

 

 

汽车在t时刻的速度为v,时段dt内走过的路程ΔS近似为vdt,其几何意义就是高为v、宽为dt的小矩形的面积。只要dt足够小, vdt就是ΔS的足够精确值dS。把这无数的小矩形面积dS加起来,就是汽车从时刻0到t走过的全部路程S,其几何意义就是速度v(t)曲线下面的面积。这就是积分的含义。这样变速运动的路程S就可以用速度变量v(t)对时间t的积分求得,如下式:

同时,速度v随时间t的变化率称为加速度a,时刻t(即P点)的速度变化量为dv,单位时间内的速度变化率应近似为dv/dt。如果取时段dt足够小,速度变化率dv/dt就是加速度a的足够精确值。时刻t的加速度a的几何意义,就是速度曲线v(t)在P点的切线的斜率。这就是导数的含义。变速运动的加速度a就是速度v(t)对时间t的导数,即

则速度函数v(t)的微分dv可由加速度a与时间t的微分dt的乘积求得,如下式:

可见微积分的诞生绝不是偶然的,确有其历史的必然性。其实任何理论都是为了解决实际问题的需要而诞生和发展起来的,离开了生产实践和生活实践,再好的理论也是无本之木、无源之水。

微分与积分有什么关系?现代微积分学又是如何创立的呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2008-5-10于广东)

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