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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)微积分的来源  

2008-05-03 08:50:19|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在初等数学里,大家都熟悉加与减、乘与除、乘方与开方这3对最基本的数学运算。而微分和积分是高等数学里的又一对基本运算。这4对基本运算分别互为逆运算,是对立统一的关系。

微积分是高等数学的最基本内容,现代不会微积分的人,基本上就意味着没有受过高等教育。你知道微积分是从哪里来的吗?

教科书里一般都认为微积分诞生于17世纪下半叶,其发明人是牛顿和莱布尼兹。但据周法哲考证,其实早在古代数学中,就产生了微分和积分这两个概念的思想萌芽,形成两种基本的数学运算。两者分别地被人们加以研究和发展。

积分思想出现在求面积、体积等问题中,在中国古代、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法。古希腊的阿基米德(公元前287―212)用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积,称为“穷竭法”。中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》(公元263年)中,对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”,他解释说:“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣。”(详见周法哲的另一篇博文《圆的面积公式从何来?》)这些都是原始的积分思想。

16世纪以后,欧洲数学家们仍沿用阿基米德的方法求面积、体积等问题,并不断加以改进。天文学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型。他注意到,酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确,他努力探求计算体积的正确方法,写成《测量酒桶体积的新科学》一书,他的方法的精华就是用无穷多小元素之和来计算曲边形的面积或体积。这一方法为卡瓦列里(1598―1647)所发展,把曲线下的面积看成曲线下的“纵坐标线之和”。巴斯卡(1623―1662)进一步把“纵坐标线之和”发展为“无穷多个矩形之和”,这就很接近现代积分学了。而华里斯(1616―1703)等人得出了一些求面积的公式,实际上就是一些积分公式。

微分思想也在古代略见端倪,它是和求曲线的切线问题相联系的,这是数学家们历来所关注的另一类问题。光学研究中,由于透镜的设计需要运用折射定律、反射定律,就涉及切线、法线问题。这方面的研究吸引了笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼茨等人。而在运动学研究中,要确定运动物体在某一点的运动方向,就是求曲线上某一点的切线方向,这就需要求作切线。笛卡儿和费马(1601―1665)都把切线看作割线的特殊情况,即当两点重合时的情况。他们分别论述过求切线的方法,就是微分计算的雏形。

特别要提出的是,笛卡儿和费马关于解析几何的工作,正是从常量数学到变量数学的转折点,为微积分的产生提供了重要的数学前提和便利条件。因为他们有了变量概念,并把描述运动的函数关系与几何中的曲线问题统一起来了。从此,力学中关于求速度和求路程的两个基本问题,就可以分别转化为求切线和求面积的问题,这样就可以充分运用数学上长期积累的关于求切线和求面积成果。

可见微积分的孕育过程经历了大约1800年的历史。这就是微积分的来源。后来怎样发展、完善成现在我们所说的微积分理论了呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2008-5-3于广东)

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