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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)简谐振动方程的来历(图)  

2008-06-23 04:10:53|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在研究波动方程时,我们知道最简单的一维简谐振动方程为:

                                                                            (1)

好家伙!是个高阶微分方程。但如果周法哲告诉你它的来历,你就立即理解了。先从最简单的振动系统说起:在一个光滑的平面(假定摩擦力为0)上,弹簧的左端固定,右端栓了一个滑块。起初滑块的位置在O点,如果把它拉到A点后松开,会发生什么现象?滑块会弹回到O点和-A点,再弹回到O点和A点,......循环往复,以至无穷(如果没有其它任何阻力,弹簧的质量也可以忽略不计)。即滑块会在初始位置O点的左右作简谐振动。如下图所示:

 

假定滑块是一个质点,质量为m,受弹簧的弹性力为矢量F,产生的加速度为矢量a,方向与x轴方向一致。通常情况下振动的速度v远小于光速c,则任一时刻t滑块的位置坐标x仅仅随时间t作周期性变化。根据牛顿第二定律F=ma,有:

                                                                                (2)

其中k为弹簧的劲度系数,注意负号代表弹性力矢量的方向与x方向相反。位移x随时间t的变化率(微分)就是t时刻的速度矢量

                                                                                            (3)

而速度矢量v随时间t的变化率(微分)就是t时刻的加速度矢量

                                                                                            (4)

把式(3)代入式(4),有

                                                                             (5)

即振动质点的位移x对时间t的二阶微分(导数),就是加速度矢量a.

好了!我们把式(2)整理一下,得:

                                                                           (6)

令ω=√(k/m)                                                                                                                 (7)

即得:

这就是方程式(1)。它就是描述简谐振动的运动方程。可以看出它是一个二阶线性常微分方程,其解可为:

                                                               (8)

其中A为振幅,ω为圆频率,φ0为初相位。显然简谐振动的位置-时间曲线x(t)为正弦波形。如下图:

圆频率ω也叫角频率,仅取决于振动系统本身的固有属性,与初始条件无关。它单位为rad/s(每秒弧度)。它与振动频率v、振动周期T的关系为:

                                                                               (9)

简谐振动是自然界最简单的振动运动,正弦波是自然界最基本的波形,它们是机械振动、机械波、电磁波、波动光学、近代物理、量子力学、信息科学以及地震理论的基础的基础。今天为什么重新讨论这个话题?请看周法哲“科学的皇后”栏目的后续博文。

(作者:周法哲2008-6-23 于广东)

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