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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)振动的能量从哪里来?(图)  

2008-06-24 03:48:37|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上次周法哲说到一个最简单的简谐振动系统:在一个光滑的平面(假定摩擦力为0)上,弹簧的左端固定,右端栓了一个滑块。起初滑块的位置在O点,如果把它拉到A点后松开,滑块会弹回到O点和-A点,再弹回到O点和A点,......循环往复,以至无穷(如果没有其它任何阻力,弹簧的质量也可以忽略不计)。即滑块会在初始位置O点的左右永远振动下去!且振幅保持为A不变。如下图所示:

 

假定滑块是一个质点,质量为m,受弹簧的弹性力为矢量F,产生的加速度为矢量a,方向与x轴方向一致。通常情况下振动的速度v远小于光速c,则任一时刻t滑块的位置坐标x仅仅随时间t作周期性变化,即位置坐标x仅仅是时间t的周期函数:

                                                                         (1)

其振动周期为

                                                                                                  (2)

那么有聪明的人要问:这个系统已经没有外力干预,即孤立系统,作为弹簧振子的质点为什么会永远运动?它的动能从哪里来?

我们知道动能

                                                                                        (3)

而质点的瞬时速率为

                                                                                                (4)

把式(1)两边对时间t求导,不妨假定初相位φ0=0,根据式(3)、(4)有:

                                     (5)

其中利用了ω^2=k/m,可见振子质点的动能并不是恒定值,而是在0与(kA^2)/2之间波动的正弦波,圆频率为2ω。其中k为弹簧的劲度系数。

天下没有免费的午餐!振子的动能忽大忽小,必然有相关的其它能量忽小忽大。

根据弹性定律和式(1),同样不妨假定初相位φ0=0,则不难求出弹簧的弹性势能为

                                                        (6)

可见弹性势能也不是恒定值,也是在0与(kA^2)/2之间波动的正弦波,圆频率也为2ω,不过波动的相位与动能波动相位相反。

对照振子质点位移x(t)曲线,如下图:

 

弹簧振子系统能量E(t)曲线如下图:其中红色为弹性势能Ep随时间变化的曲线,蓝色为质点动能Ek随时间变化的曲线。

 

可以看出,动能的峰值对应于势能的谷值,动能的谷值对应于势能的峰值,在任一时刻t,动能与势能的总和不变,恒等于

                                                                                                              (7)

如上图中紫色水平线所示。

另外,从数学上也可以计算出振子系统的机械能E守恒,由式(5)、(6)相加即得:

                         (8)

由此可见,最简单的弹簧振子简谐振动系统,质点的动能和势能是互相转换来的,总和遵守机械能守恒定律。

其实即使再复杂的波动系统,在没有外界其它作用干预的情况下,都遵守能量守恒与转换定律。如果没有能量损耗,将永远振荡和传播下去。如理想条件下的声波、超声波,电子信号源振荡回路,无线电波,光波,X射线,γ射线系统等等。

实际上绝对孤立的波动系统是不存在的,必须考虑外界与系统间的能量交换,因而世界上的波动系统就变得形形色色了。详情请看周法哲“科学的皇后”栏目的后续博文。

(作者:周法哲2008-6-24 于广东)

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