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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)弹簧振子会永远振动吗?(图)  

2008-07-08 23:21:39|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上次周法哲说到一个弹簧振子,假定滑块是一个质点,质量为m,质点运动的动能和弹簧的弹性势能不断互相转化,滑块会在初始位置O点的左右永远振动下去,且振幅保持为A不变。如下图所示:

 

 

描述这个弹簧振子系统的振动方程为

(1)

可以看出它是一个二阶齐次线性常微分方程,其解可为:

(2)

其时域波形如下图,是个正弦波:

 

但是,实际上由于振子系统不是完全孤立的,除受系统内部弹簧的弹性力外,还受系统外界的干扰作用。比如滑块体积不为0,运动中必然受空气的阻力;平面不光滑,滑块受到摩擦力。这些摩擦力会消耗一部分机械能转化成热量散发到系统以外。这些“反动”作用叫做摩擦阻尼。一般的机械振动中,振动的质点带动邻近的质点振动,振子的部分机械能必然传递给邻近的质点,即振子的能量要辐射出去一部分,振子系统的这种能量耗散叫做辐射阻尼。

无论摩擦阻尼还是辐射阻尼的作用,事实上都会使振子系统的机械能有所耗散。所以实际中的振子系统不可能永远振动下去。这种受外界阻尼作用的振动,物理学上叫做阻尼振动。

阻尼振动系统描述仍然可用微分方程,只不过需要考虑阻尼因素的作用。在振动速率v << 光速c时,阻尼作用相当于振子受到了一个正比于振动速率v的阻力f :

(3)

根据牛顿第二定律可得振子系统的振动方程为:

(4)

其中

称为阻尼系数。而

 

可以看作系统固有的谐振圆频率。

可以看出式(4)是一个二阶齐次线性常微分方程,它所描述的系统会做什么样的运动?关键要看阻尼作用的大小。下面听周法哲为你一一分析:

1、当没有阻尼作用时,即阻尼系数β=0 时,方程(4)回到简谐振动方程(1),其解可为式(2)所表述的正弦波函数,系统永远作等幅振动。

2、当阻尼作用较小时,即阻尼系数满足条件

时,方程(4)的解可为:

(5)

其中A0和φ 为由初始条件决定的积分常数,振动的“圆频率”为

式(5)表述的振子位移曲线x(t)如下图:

 

可以看出其振动“周期”没有变,但振幅却按照指数规律衰减,从初始的最大振幅为A0 逐渐衰减为0,振子最终稳定下来,静止在平衡位置。这就是我们通常所说的阻尼振动或阻尼振荡。

3、当阻尼作用刚好达到某种平衡时,即阻尼系数满足条件

时,方程(4)的解可为:

(6)

其中c1和c2为积分常数。式(6)表述的振子位移曲线x(t)如下图:

 

可以看出阻尼作用抵消了振子振动的机械能,恰恰形不成周期振动,质点运动的速率较小,在系统能量消耗完毕时,恰好回到平衡位置,静止下来。这就是我们通常所说的临界阻尼情况。

4、当阻尼作用较大,超过临界值时,即阻尼系数满足条件

时,方程(4)的解可为:

(7)

其中c1和c2为积分常数,并且:

式(7)表述的振子位移曲线 x(t)如下图:

可以看出阻尼作用大大抵消了振子振动的机械能,根本形不成周期振动,质点运动的速率很小,需要经过相当长的时间过程,才能回到平衡位置静止下来。这就是我们通常所说的“过阻尼振动”情况,实际上毫无“振动”可言。

世界上大部分物体振动,实际上都属于上述各种情况的阻尼振动,宏观上系统振动能量不衰减的等幅振动或等幅振荡,一定是在特殊条件下的理想状态。

这种理想的条件是什么呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2008-7-8于广东)

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