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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)张量的数据结构形象(图)  

2009-11-15 14:48:08|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说过,张量是一组有规则的数,这些数就叫做张量的元素或分量。一个0阶张量(标量)可以用一个数表示,似乎是“一个点”;一个一阶张量(矢量)可以用一个行矩阵表示,似乎构成“一条直线”;一个二阶张量可以用一个矩阵表示,似乎构成“一张平面”。三阶以上的张量其数据结构是个什么形象呢?

3、三阶张量

在三维空间中一个三阶张量(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客有27个分量,似乎可以构成一组3个矩阵,每个矩阵都是3×3个元素。设想“三张平面”构成一个“立方体”。如下图所示:

 

(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 图1:三阶张量数据

如果在n维空间,一个三阶张量(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客有n^3个分量,也可以构成n个矩阵,每个矩阵都是n×n个元素。设想“n张平面”构成一个“立方体”,好像一块积木。如下图所示:

(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

 图2:三阶张量立方体积木

4、四阶张量

继续探讨我们的“积木游戏”。在三维空间中一个四阶张量(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客有81个分量,似乎可以构成一组9个矩阵,每个矩阵都是3×3个元素。设想每“三张平面”构成一个“立方体”,共有3个“立方体”或曰3块“积木”。3块“积木”排成一列,好像由矩阵构成的“阵列”。

如果在n维空间,一个四阶张量(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客有n^4个分量,也可以构成n^2个矩阵,每个矩阵都是n×n个元素。设想每“n张平面”构成一个“立方体”(一块积木),n块积木排成一列。我们把这样相互关联的一组矩阵叫做“阵列”。如下图所示:

(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

 图3:四阶张量数据阵列

5、五阶张量

如果是n维空间中的一个五阶张量(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,共有n^5个分量,则可以构成n^3个矩阵。设想每n张平面(矩阵)构成一块积木,每n块积木构成一条阵列,共有n条阵列,可以垒成“一堵墙”。假如以元素(张量的分量)为单位,这堵“墙”的高和长都是n^2,厚度是n。以3维空间为例,如下图所示:

 

(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 图4:五阶张量阵列墙(设n=3)

6、六阶张量

对于6阶张量,n^6个分量可以组成n^4张矩阵平面,构成n^3块积木,再排成n^2条阵列,垒成n堵墙,最后拼成一个方垛。以3维空间为例,如下图所示:

(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

 图5:六阶张量数据方垛(设n=3)

7、M阶张量

一般地,在n维空间中的一个M阶张量共有(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客个分量,可以组成(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客张矩阵平面,构成(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客块积木,再排成(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客条阵列,垒成(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客堵墙,最后拼成(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客个方垛,再排成(原创)张量的数据结构形象(图) - 周法哲 - 周法哲的博客条方垛阵列,......依此类推。

我的天啊!太恐怖啦!不要怕,计算机最擅长作这类数据结构的运算和处理。这就是在计算机时代的今天为什么要研究和普及张量算法的原因。

我们在探讨张量理论时,通常拿少维空间中的低阶张量作例子,除了采用数组、矩阵等代数手法表示张量外,还可以采用并矢的线性组合等解析几何的手法来表示张量。至于几何手法,除了在少维空间中一阶张量还具有几何意义之外,其它张量的几何意义也就苦无良策了。不过今天有了计算机处理张量,几何意义也就无关紧要了。

聪明的读者已经看出来了,你老拿协变张量(下标分量)举例,那么它们是在什么样的坐标基矢下分解成的呢?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-11-15于广东)

 

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