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周法哲的博客

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(原创)高阶张量初步(图)  

2009-11-04 13:20:32|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回已经介绍了二阶张量的古典定义,知道张量是一组数,而且在坐标变换时按一定规则变换。二阶张量是最常用的高阶张量,通常可以理解为二阶并矢。前面已经说过,所谓并矢就是矢量的直积或曰张量积,属于矢量外积运算的一种。为了研究高阶张量的数据结构,我们不妨先从二阶逆变张量谈起。

二阶张量可以表示为一组数据,我们来讨论一下这一组数据在坐标变换中的变化规律。

设白线性空间中任意两个矢量a和b,在第一个坐标系(原创)高阶张量初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客中分别表示为

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则两个矢量的并矢为

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可记为一组数据

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不妨以二维空间为例,如下图所示:

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 图:二阶张量(并矢)

可以看出,与任意矢量一样,并矢(原创)高阶张量初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客也是一个客观存在,不因坐标系而改变。但采用不同的坐标系来描述它时,往往表现为不同的一组数据。

如果我们采用第二个坐标系(原创)高阶张量初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客来描述它,两个矢量ab分别表示为

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则两个矢量的并矢又可表示为

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也可记为一组数据

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根据前几节的讨论我们知道当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时

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而矢量的坐标分量按照A的转置逆矩阵变换,即“逆转而变”为

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从而可知“那一组数据”变换为

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通过上例的分析可见,并矢是一组数据,描述一个张量T,但它在坐标变换中随基矢“逆转而变”,所以属于逆变张量;由于变换因子中有两个矩阵,所以叫做二阶张量。

一般地,在n维空间的任一坐标系中给定一组有序的数

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它有两个上标;当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时,如果这一组数T的每个上标却独立地按过渡矩阵A的转置逆矩阵(原创)高阶张量初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客变换,即变换为

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则称这一组数T为二阶逆变张量。

其中上式右端的哑标i,j表示从1到n求和。自由指标k和l都取从1到n的值,表明二阶张量有一组n^2个这样的线性组合式。

上述定义的张量只有两个上标,叫做二阶逆变张量,属于二阶张量的一种。实际中,二阶张量还可以只有下标或既有下标又有上标。只有两个下标的张量叫做二阶协变张量;既有一个下标又有一个上标的张量叫做二阶混变张量。有待后续章节陆续介绍。

张量既然是一组有规则的数,这些数就叫做张量的元素,有时也叫做分量。在n维白线性空间里,一个二阶张量的元素(分量)有n^2个,可以组成一个n^2元数组或n×n阶矩阵。

通常把二阶以上的张量叫做高阶张量。那么更一般地高阶张量如何表示呢?它们的数据结构如何呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2009年11月4日于广东)

 

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