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(原创)什么叫线性形式?  

2009-12-16 11:09:33|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回我们介绍了一般线性函数的特性。接下来我们说说线性函数的一些特例。

一、线性泛函

特殊地,如果线性函数是从线性空间V到其自身基础域(底层域)K的映射时,即 (原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

则又称之为线性泛函。此时(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 。函数的值域(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

基础域K可以是数域F(包括实数域R或复数域C)。

二、线性形式的定义

更特殊地,如果线性空间V的基础域K是数域F,则线性泛函叫做线性形式。实际中线性形式是最重要的线性函数,所以正式定义如下:

设V是数域F上的一个n维线性空间,f是从V到F的一个映射:(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

如果对于(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 ,及(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 ,都有

(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

则称f是空间V上的一个线性形式。此时(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 ,或曰线性形式的值域(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

可以看出,若上述线性条件中令(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 ,则有(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 。因此线性形式又可称之为线性齐次函数线性型。 

三、通常的线性形式

因为通常情况下我们讨论的线性空间都是实数域R上的向量空间,所以把从实线性空间V到实数域R的线性映射

(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

称之为实数域R上的一个线性形式、线性函数(linear function from V to R)。在不致混淆的情况下,通常也可以笼统称为线性映射、线性齐次函数、线性型、线性变换、线性算子。此时(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 。函数的值域(原创)什么叫线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

实数域R上的线性形式是线性函数中最重要的一种特殊形式。

线性形式的概念大概如此。但能不能举出一些线性函数包括线性形式的实例呢?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-12-16于广东)

 

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