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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)线性函数举例(图)  

2009-12-20 18:37:34|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前几回我们介绍了线性函数包括线性形式的概念及性质,接下来我们列举一些线性函数包括线性形式的实例,以巩固对线性函数概念的理解。

1:线性空间V中的恒等变换fv)=vV上的一个线性变换。也可以写成fv)=Av,其中v为空间V中的任意元素(向量的列矩阵),A为变换矩阵(以三维空间为例)

 (原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

是一个单位矩阵E

2:线性空间V中的零映射fv)=0也是V上的一个线性映射。也可以写成fv)=Av,其中v为空间V中的任意元素(向量的列矩阵),A为变换矩阵

 (原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

是一个0矩阵。

3:三维实线性空间R3中的直角坐标系在所有方向上缩放2倍,是空间R3上的一个线性变换。可以写成fr)=2r。也可以写成fr)=Ar,其中r为空间中的任意矢径(矢径的列矩阵),A为变换矩阵 (原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

是一个数量矩阵kE

4:平面上直角坐标系针对x轴的反射变换,是二维空间R2上的一个线性变换。也可以写成fx)=Ax,其中x为空间中的任意向量(坐标的列矩阵),A为反射变换矩阵

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

该反射变换的含义即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

写成矩阵形式即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

5:平面上直角坐标系针对y轴的投影,是二维空间R2上的一个线性变换。也可以写成写成fx)=Ax,其中x为空间中的任意向量(坐标的列矩阵),A为投影变换矩阵

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

该投影变换的含义即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

写成矩阵形式即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

6:平面上斜交直线坐标系逆时针旋转角度θ的旋转变换,是二维空间R2上的一个线性变换。可以写成fx)=Ax,其中x为空间中的任意向量(坐标的列矩阵),A为旋转变换矩阵

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

该旋转变换的含义即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

写成矩阵形式即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

7:一般地n维白线性空间X中的基矢变换,是空间X上的一个线性变换。可以写成

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

其中g为空间中的任意一组基矢(基矢组的列矩阵),A为基矢变换矩阵(过渡矩阵)

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

基矢变换的含义(不妨以三维空间为例)即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

写成矩阵形式即

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

这是我们在讨论坐标变换时所熟悉的。

8积分生成从某个区间的实数值上所有可积函数构成的函数空间V到实数集R的线性映射。

9:设实数域R上的一个n阶方阵(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,则A的迹

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客就是线性空间Rn上的一个线性函数。

10:设n维实线性空间Rn中的任意元素(向量)x可表示为列矩阵

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

对于实数构成的行矩阵(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,则函数

(原创)线性函数举例 - 周法哲 - 周法哲的博客

是空间Rn上的一个线性形式。

一般地,空间V上的线性函数都可以表示为自变量(或其分量)线性组合的形式。所以也叫做线性形式或线性型。

(原创)线性函数举例(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

前面引入了线性函数的基本概念。现代数学中使用更多的是双线性函数。什么叫双线性函数?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-12-19于珠海)

 

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