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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)线性函数的定义  

2009-12-02 23:21:52|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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综上所述,线性函数是一种更特殊的二元关系,是一种线性映射,是在两个线性空间之间保持变元线性关系的映射。一般线性函数的定义如下:

VW为相同域K上的两个线性空间,从VW的映射

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客(1)       

是基础域K上的函数。其中变元(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 (原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,符号 (原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 读作“对应”。

如果(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,及(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,总满足下列两个条件:

1、可加性:

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客(2)       

2、均匀性:

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客(3)       

则称f是从VW一个的线性映射,或曰线性函数linear function from V to W)。记为(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 。线性函数也叫做线性变换线性算子。此时(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 。函数的值域(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客

其中基础域(底层域)K可以是数域F(包括实数域R或复数域C)。基础域K是实数域的线性函数叫做实线性函数;基础域K是复数域的线性函数叫做复线性函数

 

上述定义中的两个条件可以等价地合并为一个线性条件

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客,及(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,总有

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客(4)       

或用爱因斯坦求和约定写成

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客(5)       

可能我们最常见的表达式是两个元素的线性组合

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客(6)       

简单地说,如果自变量线性组合的函数,等于函数的线性组合,则这样的函数(映射关系)就是线性函数。更简单点说,自变量与因变量之间具有线性关系的一类函数,就叫做线性函数。

用专业点的语言讲:设有一个函数关系(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,如果当自变量作线性变换时,即从x变换为(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 时,函数值也只作线性变换,即从(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 变换为(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,那么,这样的函数就属于线性函数。

 

1:微分就是一个从所有可微函数的空间V到所有函数的空间W的线性映射。

2:如果Am×n阶实矩阵,规则(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 描述一个线性映射

(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客(7)       

则这个对应规则就是从n维实空间(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 m维实空间(原创)线性函数的定义 - 周法哲 - 周法哲的博客 的一个线性函数。

可见线性函数不是一般的函数,它具有许多特殊性质。究竟线性函数具有哪些特性呢?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-12-2于广东)

 

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