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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)从二元函数谈起(图)  

2009-12-27 12:35:45|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面我们已经介绍了线性函数,接下来我们讨论双线性函数。不妨先从通常的二元函数谈起。

在高等数学中我们知道,有两个自变量的函数叫做二元函数。即

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在三维笛卡儿坐标系中,二元函数的图形是空间中的曲面S,定义域是平面上的区域D,平面区域D上的每一点(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 对应曲面S上的每一点(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 。最典型的二元函数的几何意义就是平面地形图上每一点(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 上的海拔高度z。如下图所示:

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图1.              二元函数的图形

 

但在现代数学中,以集合论为基础,函数是映射,是从一个集合到另一个集合的映射。而所谓的二元函数,就是从一个二阶笛卡儿积到另一个集合的映射。即

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设有三个集合X,Y,Z,任取元素(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 ,即对于任意一个序偶(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 ,都有确定的函数值(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 ,则这个函数关系f就叫做从积集X×Y到集合Z的一个二元函数

可见二元函数是一种从序偶到函数值的对应关系。记为

(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

此时,(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 。函数的定义域(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 ,值域(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

特殊地,如果集合X=Y,则二元映射

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称之为集合X上的一个二元函数。

大多数情况下,如果函数值都是数域F(实数域或复数域)的元素,则X(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客上的二元函数又可以表示为二元映射

(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

1:实平面上各点的海拔高度(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 就是实数域R上的一个二元函数,即

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2:我们所熟悉的复数集C其实就是实数笛卡儿积R2上的一个二元映射

(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

这个二元函数也可以写成

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其中(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 为虚数单位。

 

3:平面直角三角形斜边的长度r就是两直角边长度xy的一个二元函数,函数的解析式可表示为

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4:物理上两个作用力F1F2的合力F就是矢量平面上的一个二元函数,只不过是一个矢性函数。解析表达式为

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5:在二维白线性空间中,当选定一组基矢(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 后,就等于建立了一个坐标系OXY,任意矢量P可以按基矢分解成一个线性组合,这种线性表出规则就是矢端坐标(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 的一个二元函数。可写成

(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

6:设有二元函数(原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 的各偏导数存在且连续,则其全微分也是一个二元函数。即 (原创)从二元函数谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

上述的是二元函数的基本概念。现代数学中使用的是双线性函数。双线性函数与一般二元函数有什么区别?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-12-27于广东)

 

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