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(原创)双线性函数(图)  

2009-12-30 23:19:58|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回我们已经回顾了一般的二元函数概念,接下来我们介绍双线性函数,它是一类特殊的二元函数,在现代数学中特别有用。

简单地说,双线性函数是指对两个自变量都保持线性关系的二元函数。

通常二元函数f(x,y)随两个自变量xy变化的约束关系不一定是线性的。比如平面地形图上的海拔高度h不一定随平面上点的坐标(x,y)作线性变化。

但有些二元函数的值域仅限定在一个空间平面(而不是曲面)上,如下图中由A,B,C三点决定的一个平面S,平面方程为

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或形如

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(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 图1.     空间平面(不过原点)

 

如果二元函数的取值z仅限定在上述平面上,即恒有(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 时,则这时的二元函数f(x,y)对每个自变量xy都将分别表现出线性函数的性质。这种特定条件下的二元函数就是我们要重点研究的双线性函数。所以,可以说双线性函数就是在两个参量上都是线性映射的线性函数。如下图所示:

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图2.     双线性函数的图形

 

一般地,双线性函数的定义如下:

X,YZ为相同域K上的三个线性空间,当二元映射

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对两个自变量都是线性映射时,则这样的二元映射f称之为从线性空间X×YZ的一个双线性映射双线性函数。此时(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 。即函数的值域(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

换句话说,双线性函数的本质特征是,如果保持双线性映射的任一个自变量固定不变,并留下另一个自变量作变元,则结果都是一个线性函数。这就是双线性函数的偏线性。即对于(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 ,及 (原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,都成立

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如下图所示:

 (原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 图3.     双线性函数的偏线性

 

特殊地,如果双线性映射(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 中的空间X=Y时,即

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则称为集合X上的一个双线性函数,或曰二次齐次线性函数。因为根据双线性的定义,对于所有的(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 ,都必然有:

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这符合二次齐次函数的定义。其中K为线性空间X的基础域。

 

1:矩形的面积S是长x和宽y的一个双线性函数。记为

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2:平面直角三角形斜边的长度r是两直角边长度xy的一个二元函数

(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

但它不是一个双线性函数。因为它对任何一个自变量都不是一个线性函数。

3:物理上两个作用力F1F2的合力F就是矢量平面上的一个双线性函数,只不过是一个矢性函数。解析表达式为

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4:在二维白线性空间中,当选定一组基矢(原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 后,就等于建立了一个坐标系OXY,任意矢量P可以按基矢分解成一个线性组合,这种线性表出规则就是矢端坐标x,y的一个双线性函数。可写成

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5:矩阵乘法是一个双线性映射。即 (原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

或写成元素的对应关系

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其中变元a,b,c均属于基础域Fi=1,2,...,mj=1,2,...,nk=1,2,...,p

乘积矩阵就是两个相乘矩阵的双线性函数 (原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

6:在通常的三维矢量空间V中,两个矢量的叉积(矢量积)就是V上的一个双线性函数。即 (原创)双线性函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

上述的是一般双线性函数的基本概念。现代数学中使用较多的是双线性形式。双线性形式与一般双线性函数有什么区别?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-12-30于北京)

 

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