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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)线性函数的性质  

2009-12-05 12:38:55|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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 上一回我们给出了最一般的线性函数的定义,知道线性函数是一种很特别的函数。下面介绍线性函数的“特别之处”。这些都是周法哲的罗列,目前的教科书上还没有发现这样的规纳。实望高手指点一二。

线性函数除了具有一般函数(映射)的性质外,还具有如下特性:

1、线性函数(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 属于齐次函数

因为根据线性的定义,对于所有的(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,都必然有:

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客     

这符合一次齐次函数的定义。所以,线性函数也叫做线性齐次函数。此时(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

2、线性函数的复合函数也是一个线性函数。

即如果(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 都是线性映射,则复合映射

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客       

是从线性空间X到Z的一个线性映射。此时(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

或写成

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客       

也是从线性空间X到Z的一个线性函数。复合函数的值域(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

3、如果线性函数(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客逆映射(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 存在,则这个逆映射(此时(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客       

也是一个线性函数,不过是从线性空间Y到X的一个线性函数。称之为原函数(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客反函数。反函数的值域(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

4、线性函数之和也是一个线性函数。

即如果(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 都是线性映射,则映射

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客      

也是从线性空间X到Y的一个线性映射。此时(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

或写成

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客       

也是从线性空间X到Y的一个线性函数。这里和函数的值域(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

5、线性函数的数乘也是一个线性函数。

即如果(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 是线性映射,则对于另外任取数域F中的元素(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,映射

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客      

也是从线性空间V到W的一个线性映射。此时(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

或写成

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客      

也是从线性空间V到W的一个线性函数。此时函数的值域(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

其中数域F可以是实数域R或复数域C。

注意:这里的数域F不一定是线性空间的基础域K,更不一定是目标空间W。注意与性质1概念上的区别。

6、线性函数的线性组合仍然是一个线性函数。

从性质1和2不难得出:如果(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 都是基础域K上的线性映射,另外任取数域F的元素(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 ,则函数的线性组合

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客      

仍然是从X到Y的一个线性函数。这里函数的值域(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

其中数域F可以是实数域R或复数域C。

注意:这里的组合系数(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客 所在的数域F,不一定是线性空间的基础域K,更不一定是目标空间Y。

此外注意:该性质与线性函数定义中的下列线性条件在概念上的的异同:

(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

其中(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客,及(原创)线性函数的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客

 

上述性质普适一切线性函数。不过在实际中我们经常使用线性函数的特殊形式。线性函数有哪些特殊的实用形式呢?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-12-5于广东)

 

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