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(原创)道是“无理”却有理(图)  

2009-03-01 12:31:23|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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--“谬误归约论”简介

毕达哥拉斯学派关于2的平方根的无理性的原始论证称为谬误归约论。

谬误归约论指的是先假设一种说法是真实的,顺理推论,出现矛盾,从而证明该说法是虚假的。

兹以现代实例说明这个理论,即20世纪的一个大物理学家玻尔的一句名言:“一种伟大思想的对立面也是一种伟大的思想。”

也可以先假定玻尔的名言是一种伟大的思想,那么,这个说法的对立面呢,即“一种伟大思想的对立面并不是一种伟大的思想”也一定成立。

这样一来,与原定假设相悖,即说明玻尔的名言不成立,玻尔等于自我承认并非伟大的思想。

这就是谬误归约论的论证过程。

下面,根据谬误归约论,用现代论证法论证2的平方根的无理性。

我们知道,任何有理数都可以表示为分数,无理数就是无限不循环小数,即无法用分数表示的数。

设边长为1个单位的正方形,对角线BC分正方形为两个直角三角形。如下图所示:

(原创)“谬误归约论”简介(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

根据毕达哥拉斯学说即中国的勾股定理,在这样的直角三角形中,斜边X的平方等于两直角边的平方和。即X等于2的平方根。

先假定2的平方根X是一个有理数,即可以表示为分数,有

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(1)

式中p和q均为整数。当然也可以约分到p和q没有公因数(除了1)。

我们假定p和q是互质数,即除了1外没有公因数。则把式(1)两边平方,可得

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(2)

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(3)

据式(3)可知,等式左边p的平方一定是一个偶数。

众所周知,奇数的平方一定是奇数,所以,p本身一定是偶数,可以写作p=2s,式中s为一个整数。

把p=2s代入式(3),得:

(原创)“谬误归约论”简介(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(4)

最后等式的两边都除以2,则得:

(原创)“谬误归约论”简介(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(5)

说明q的平方也应该是一个偶数,证明过程同上,则q本身也是一个偶数。

好了!如果真的要是p和q都是偶数,都可以被2整除,那么这两个数就都没有归约到互质数――除了1外仍然有公因数。这和论证前的假设是矛盾的。所以,原始的假设一定是谬误的。

可见2的平方根不可能表示为任何分数,所以是无理数。

这里谬误得到归约。事实上

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(6)

是个无限不循环小数。这个结论真是出人意料!证明过程真是奇妙!

这就是毕达哥拉斯学派最先发现的“谬误归约论”思想及证明方法,这是人类逻辑思维方面的一个伟大发现。

(作者:周法哲2009-3-1于广东)

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