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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)纵横宇宙话波动(图)  

2009-03-07 06:55:26|  分类: 科学的皇后 |  标签: |举报 |字号 订阅

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宇宙中到处充满着形形色色的波。中国的“宇”字,有“空间”的含义,“宙”字,有“时间”的含义,合起来,“宇宙”就是指“时空”。现代科学已知,宇宙空间中的“波动”,无非就是我们要研究的物理量随时间和空间位置的映射或曰函数关系。

设空间坐标系如下图:

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图1   波动的产生

 

如果在空间任一点P(x,y,z)上有一质点(或任何物理量的微元),其位置矢量为r,在原点(波源)能量的作用下产生位移,不妨记为

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(1)

即其位置矢量r 随时间的变化量,显然应该是空间位置r 和时间t 的函数。如果位移偏离其平衡位置P的程度不大,而且空间物质(介质)各向同性,即振动在线性范围,则相邻质点能量传递的结果必然在我们观测的时空内产生连锁的振动――波动,该波动传播的速度为u ,方向如上图1所示。可以证明,在空间任一点上,位移(波函数)ψ 与时间t、位置r 以及波速u的数量关系,大部分(尤其是机械波)都符合如下的波动方程:

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其中fs为波源或外力的作用量。弦的受迫振动就可以用此方程来描述。如果振动不受任何外力的作用(在仅仅研究波动的传播过程时),波动方程变为

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(3)

弦的自由振动(假设阻尼作用可以忽略)就可以用此方程来描述。如果衰减可以忽略不计,电磁波在无源区域的传播过程也符合此方程(见麦克斯韦方程组)。

波的传播方向叫做波线,如图1中的波速u的方向。由图1看出,波函数(位移)

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(4)

的方向可以是任意的,一般情况下不一定与波线方向相同,也不一定与波线正交(垂直)。但在线性范围内都可以分解为与波线平行和垂直的两种分量的矢量和。所以,为了简单起见,我们只需要研究波函数的平行分量和垂直分量即可。一般地,振动方向(位移或波函数的方向)与波线方向一致(平行)的波叫做纵波,与波线垂直的波叫做横波(如下图)。

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图2   横波

 

机械波的传播必须依靠介质,即机械波不可以在真空中传播。电磁波(包括光波)、引力波的传播不一定需要介质。就机械波而言,通常情况下,流体(液体、气体)介质只能传播纵波,如声波、水波(如下图);

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图3   水波(纵波)

 

固体介质既可以传播纵波,也可以传播横波。如地震波就是既有纵波成分,也有横波成分,况且波源(震源)多在震中(震源在地面上的投影位置)地区距地表较深的位置,再加上地质构造情况的不均匀(更谈不上各向同性),所以物理测算和数学定量分析非常复杂,因此人类至今还无法准确地预报地震。有待于80后的精英们不断努力哦!

理论上讲,点波源激起的波是球面波,线波源激起的波是柱面波。但在距波源较远的地方,这些曲面形波面上的一个小区域可以近似为平面,该处的波就可以叫做平面波。波面切向的波就是横波,法向的波就是纵波。在平面波的情况下,波的传播可以用位置矢量r上的一维空间描述,如下图所示:

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图4   平面波的传播

 

在各向同性的均匀介质中,如果没有外力作用,平面波传播规律的数学模型就是波动方程式(3)。这是一个齐次的二阶线性常系数偏微分方程,在一定条件下解该方程就可以得到波函数的表达形式为

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(5)

可见波函数为一个随时间、空间变化的正弦波,其频率ω、振幅A和初相位φ取决于波源的振动。波沿波线传播的速率u是一个常数。对于确定的某一时刻t,波函数的相位仅仅是位置r 的函数,所以也叫行波。

一般地,在三维空间直角坐标系中,波动方程(3)应该表示为

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(6)

其中使用了拉普拉斯算子

(原创)纵横宇宙话波动(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(7)

方程(6)左边是波函数对时间的二阶偏导数,也可以看作空间某一点P上的振动位移(或波函数)ψ 的瞬时加速度。

如果空间介质是非均匀分布(如复杂地质构造)或各向异性的(如晶体、准晶体、液晶、等离子体),其数学模型仍然可用上述的波动方程的形式,但波函数的解法要用到矢量场甚至张量场理论,留作以后专门研究,这里不再赘述。

(作者:周法哲2009-3-7于广东)

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