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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)关于归纳法的思考  

2009-04-13 23:39:31|  分类: 人性之道 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小时候听说过一个笑话,说的是中国古时候有个商人,请了个教书先生教儿子读书识字。怕他这个儿子接受能力差,要求老师循序渐进,老师开始每天只教他儿子认识一个字。

第一天教会了一个“一”字,学生知道了写“一”字是画一横;第二天教会了一个“二”字,学生知道了写“二”字是画两横;第三天教会了一个“三”字,学生知道了写“三”字是画三横。

学生说:“我不用上学了。我已经全知道了,原来几字就是画几横。我可以当老师了!”

于是这个学生就去当老师开学堂招生。果然有个孩子来报名,他问孩子:“你叫什么名字?”

孩子回答说:“我叫石万三。”

“哦!十万三。”心想应该画十万三千横!

年轻的老师用毛笔在纸上画啊画啊......太阳快正午了,数一数还是不够十万三千道!唉!年轻的老师累得额头冒汗。

孩子说:“老师,不如我回家把我妈妈的木梳拿来,下午可以画得更快一些!”

“......”

这是一个笑话,但它包含了一个每个人都用过的思维方法――“归纳法”。只不过用归纳法得出的结论并不总是可靠的,比如上述故事中商人的儿子就是采用了一种“不完全归纳法”,结果出了笑话。

请不要耻笑他!我们每一个人从小认识事物的过程中,基本上都是靠“归纳法”形成概念的。比如在认识“女人”这个概念时,一开始只知道妈妈、姐姐、奶奶、姥姥、姑姑、姨妈、舅妈、嫂嫂、保姆阿姨、女老师等个别的具体的女人,在反复认知过程中不断总结概括出“女人”的共同特征,逐步建立起“女人”的初步概念。长大了认识女同学、女朋友、妻子及更多的女人,归纳出更一般的“女人”概念,这时候的概念就可靠多了。尽管如此,我们即使活到老,谁能见过“所有的”女人呢?那么我们对“女人”概念的归纳方法也仍然属于“不完全归纳法”。难道说我们大脑里关于“女人”的概念不可信吗?

再比如,我们试算过5,15,25,45,95这五个数,它们都能被5整除,而它们的共同特征是个位数都是5,因此可以归纳出一个结论:“个位数为5的整数都能被5整除。”尽管采用了不完全归纳法,但可以证明,这个结论是正确的。

我们看到7,17,37,47,67这五个数,全是质数(即除了1和本身之外再没有任何数可以整除它的数),再一看它们的共同特征是个位数都是7,同样采用不完全归纳法得出一个结论:“个位数为7的整数都是质数。”对吗?很不幸!这个结论是错误的!因为至少有一个“27”就不是质数。

可见“不完全归纳法”不完全可靠,人们首先想到的是尽量采用“完全归纳法”。最老实可靠的就是“穷举法”,也就是把要归纳的事实一个不漏地全部列举出来。比如你大学宿舍238房间里住的8个人,张三是女生,李四是女生,王五是女生,赵六也是女生,......,所有的例证(此处共8个)都列举穷尽了,每一个具体的例证都是女生,那你就可以使用“完全归纳法”得出结论:“238宿舍住的都是女生。”这个结论就是可信的。

采用“穷举法”的完全归纳法可信度较高,但不是任何情况下都方便使用的。比如在数学上有一个命题:“每个偶数都可以分成两个质数之和。”从古到今人们已经验证过成千上万的偶数,至今还没有发现一个不符合该命题的例证。但你能说这个结论一定是可信的吗?因为再多的偶数例证,也不能说归纳证据举例穷尽了,也不等于已经“穷举”了呀!

再比如,设x的某个函数为

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如果记“不大于x的质数的数目”为π(x),则

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(2)

高斯曾经推测这个结论永远成立。因为人们已经试过10000000以下的所有质数,结论是正确的;对于x为“10的7次方”以上的数,也验证过许多,式(2)的结论都是正确的。

可是万万没有想到,1933年斯古士终于找到了一个小于“10的10的10的34次方”的一个质数,即当

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时,式(2)的不等式不成立!实际上脱伍德已经从数学理论上证明,对于无限数目的质数来说,式(2)的归纳结论不能成立。

在科学上尤其是数学上,人们使用完全归纳法时采用了逻辑推理,即不一定使用穷举法,而是也关注事实之间的关系,作出合乎逻辑的类推。比如你看到如下的例证:

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你很容易会推想到:“奇数序列前n项之和等于n的平方。”你很幸运!这个归纳结论是正确的。实际上利用数学归纳法可以证明,证明过程如下:

设有奇数序列

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其中n为自然数。我们要证明的结论是

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(9)

证明:步骤1――验证:当n=1时,显然结论(9)是成立的。

步骤2――推理:从假定当n=m时结论成立,如果可以推出当n=m+1时结论也成立,那么综合考虑到步骤1的结果,结论(9)就可得证。于是

假定当n=m时结论成立,即有

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(10)

则当n=m+1时,代入式(9),有

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 (11)

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(12) 

其中左边的计算利用了等式(10)。

显然左边=右边,可见当n=m+1时,式(9)也成立。

综合步骤1和步骤2的结果,式(9)所表示的结论成立。证毕。

可见数学归纳法是一种从起点事实出发、利用递推遍历实现穷举的完全归纳法。通过数学归纳法证明的结论是可信的。

同样道理,如果我们看到如下的一系列事实:

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你会归纳出:“自然数序列前n项的立方和等于其前n项和的平方。”用数学语言表达,即

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我们用数学归纳法也同样可以证明这个推断是正确的。

遗憾的是,数学是高度抽象的冷冰冰的符号逻辑。世界上并不是所有的事物都可以适用数学归纳法,比如小孩子甚至我们成年人对“女人”概念的建立就不能适用上述的数学归纳法。可你能说我们头脑中关于“女人”的概念不可靠吗?我们日常生活中对于大部分事物的概念,不就是靠这样的模糊感觉归纳出来的吗?

推而广之,我们整个人类的全部知识,归根到底都是从具体的直接感觉发源的,从直接经验中归纳出抽象的概念,并依此为基础而建立起来的。然而至今为止的数学和科学所能证明的仅仅是其中的一小部分,毕竟科学也不是万能的啊!不能不令人深思的问题是,我们的大脑里,除了数学和科学可以证明的逻辑思维方式外,到底还多出了什么东东呢?

(作者:周法哲2009-4-10于上海)

 

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