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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)傅立叶变换(图)  

2009-07-12 01:06:37|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,根据傅立叶积分定理可知,若任意函数f(t)只要满足傅立叶积分定理的条件,则在其连续点处,函数f(t)可用傅立叶积分表示为

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(1)

现在如果我们令

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(2)

则傅立叶积分可表示为

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(3)

可见函数f(t)和F(ω)可以通过上述两式互相表达。

数学上称式F(ω)为函数f(t)的傅立叶积分变换,记为

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(4)

函数F(ω)称为f(t)的像函数;

称式f(t)为F(ω)的傅立叶逆变换,记为

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(5)

函数f(t)称为F(ω)的像原函数。

这就是著名的数学法宝――傅立叶变换(FT)的定义。FT有什么实际意义呢?其最基本的实用价值就是用来分析非周期信号的频率成分。

傅里叶变换F(ω)也称为非周期信号f(t)的频谱密度函数,代表单位频率间隔或频带微元dω上的相对频谱值,通常也简称频谱函数,一般是频率的复变函数,可以表示为

(原创)傅立叶变换(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(6)

其中频谱函数F(ω)的模 |F(ω)| 表示各频率分量的相对幅值随频率变化(或曰按频率分布)的关系,叫做幅度频谱密度,简称幅度频谱;φ(ω)表示各频率分量的相位随频率变化(或曰按频率分布)的关系,叫做相位频谱。

例如,单个矩形脉冲的时域波形如下图:

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图1 单个矩形脉冲信号

根据傅里叶变换可求出其频谱函数

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(7)

频谱函数的图像(频域分布曲线)如下图:

(原创)傅立叶变换(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

图2 单个矩形脉冲的频谱函数

显然傅立叶变换表示的频谱是双边的。其中幅度频谱为

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(8)

实际上信号的幅度按频率(非负)的分布很容易求得为

(原创)傅立叶变换(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(9)

这就是所谓的单边频谱。

单个矩形脉冲信号的相位频谱函数可表示为

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(10)

可见,非周期信号(如单个矩形脉冲)的频谱是连续曲线。与相应的周期函数(如周期矩形脉冲)的离散频谱的包络变化一致。再一次显示周期函数与非周期函数的内在联系。

此外需要指出的是,从频谱图可以看出,非周期信号的频率成分遍布整个频率轴,但信号的能量主要集中在频谱函数的第一个零点以内的频率范围上。科学界通常规定这个频率范围为信号的频带宽度,简称带宽,记为

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(11)

对于圆频率,信号带宽可表示为

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(12)

其中τ为脉冲宽度,也就是信号的持续时间。很明显,信号的持续时间与其频带宽度成反比。这就是为什么如果我们为了提高信号传输速率,即压缩信号的持续时间,就必须拓宽传输线路的带宽。

人类社会已进入后工业时代,也叫信息时代,而现代IT(信息技术)领域普遍采用数字化处理已成为不可逆转的大趋势。如何使模拟信号(大致可理解为连续信号)与数字信号(属于离散信号)建立联系呢?详情且听下回分解。

(作者:周法哲2009-7-11于广东)

 

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