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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)单位冲激函数(图)  

2009-07-13 23:35:25|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,单个矩形脉冲的时域波形如下图:

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图1 单个矩形脉冲信号

根据傅里叶变换可求出其频谱函数

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(1)

频谱函数的图像(频域分布曲线)如下图:

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图2 单个矩形脉冲的频谱函数

一、特殊的单个矩形脉冲信号

如果我们令单个矩形脉冲信号的脉幅在数值上取

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(2)

则无论脉宽τ怎样变化,函数图象下面的面积恒等于1,即

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(3)

如下图所示:

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图3 特殊的单个矩形脉冲

这个特殊的单个矩形脉冲信号的数学表达式为

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(4)

因而其傅立叶变换由式(1)得

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(5)

这是一种最大幅值为1的抽样函数,其频域曲线如下图

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图4 特殊的单个矩形脉冲的频谱

二、单位冲激函数的定义

对图3和式(4)表示的特殊的单个矩形脉冲,如果我们令脉宽τ趋于0,取极限,则单个矩形脉冲变成在t=0处持续时间无限小、幅度无限大、面积仍为1的特殊信号(或广义函数)。科学界把这个广义函数叫做单位冲激函数或狄拉克(Dirac)函数。记为

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(6)

单位冲激函数的图象如下图所示

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图5 单位冲激函数的图象

单位冲激函数是一种广义函数,它的幅值为无穷大,图象只能用带箭头的射线表示。但通常不标出其幅值,而是只用括号标出其冲激强度(S),即面积。由式(3)和(6)可知其面积(冲激强度)为1,所以称之为“单位”冲激函数。此外,单位冲激函数的自变量不仅仅限于时间t,可以是任何物理量x

实际上还常用延迟的单位冲激函数,数学表达式如下:

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(7)

其图象为

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图6 延迟的单位冲激函数的图象

三、单位冲激函数的性质

根据单位冲激函数的定义,它具有下列最基本的性质:

1、广义积分归一性:

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(8)

2、筛分性质:单位冲激函数与任意函数乘积,等于只筛选出t=t0时刻f(t)的值作为冲激强度。

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(9)

3、抽样性质:

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(10)

更一般地,有

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(11)

即通过与δ函数(或延时的δ函数)乘积的积分,把任意的连续函数f(t)抽样为t=t0处的一个函数值。

4、微积分性质:δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε(t)。

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(12)

反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数:

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(13)

其中单位阶跃函数为

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(14)

其图象为

 

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图7 单位阶跃函数的图象

四、单位冲激函数的频谱

由单位冲激函数的定义和抽样性质,其频谱密度函数(傅里叶变换)为:

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(15)

频谱如下图:

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图8 单位冲激函数的频谱

实际上,由式(5)和图5可以看出,当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时,频谱图5中的零点趋于无穷远处,即

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(16)

则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。可见单位冲激函数的频带宽度为无穷大,科学界称这样的频谱密度为“均匀谱”或曰“白色谱”。

五、连续函数的冲激表示

引进冲激函数概念,为信号的时域分析和频域分析提供了极大的方便。比如任何一个连续函数f(t)都可以表示为无穷多个不同加权的冲激函数之和,即加权积分:

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(17)

单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁,因此在工程技术尤其是IT领域至关重要。具体应用且听下回分解。

(作者:周法哲2009-7-13于广东)

 

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