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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)单位冲激函数的妙用(图)  

2009-07-16 22:33:23|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁,因此在工程技术尤其是IT领域的信号分析中有十分重要的妙用。

比如有许多不满足绝对可积条件的信号,应用单位冲激函数就可以求出其傅立叶变换,“化验”出信号包含的频率成分。

我们已经知道单位冲激信号的频谱密度函数是常数1,则根据傅里叶变换的对称性,有常数(直流信号)f(t)=1的傅里叶变换(频谱密度函数)为

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(1)

可见单位冲激函数δ(t)与常数1构成一个傅里叶变换对:

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(2)

推而广之,再根据傅里叶变换的频移性质,可知指数函数的频谱为频域的冲激函数

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(3)

再根据欧拉公式,可导出正弦函数的傅里叶变换(频谱)为离散频谱:

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(4)

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(5)

一般地,对于周期函数(傅立叶级数展开式的指数形式)

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(6)

利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为

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(7)

综上所述,周期函数的傅里叶变换(频谱密度函数),是位于周期函数各次谐波频率nω1处的频域冲激函数串,频率间隔是周期函数的基频ω1,冲激强度等于相应的傅立叶系数Cn 的2π倍。

可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。通过引入冲激函数的概念,把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数,则周期函数的离散频谱都可以用冲激函数串方便地表示。

例:有脉幅为E、脉宽为τ、周期为T的周期矩形脉冲信号fT(t),如下图所示:

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图1 周期矩形脉冲的时域波形

求其离散频谱。我们知道通过傅立叶级数的方法,求出其傅立叶系数为

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(8)

其中ω1=2π/T为基频。由式(7)可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为

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(9)

其离散频谱图如下图所示:

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图2 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示

单位冲激函数还有更大的妙用,且听下回分解。

(作者:周法哲2009-7-16于广东)

 

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