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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)狄拉克梳状函数(图)  

2009-07-19 01:57:48|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,单位冲激函数有诸多妙用。在数字信息技术时代,由单位冲激函数派生出的狄拉克梳状函数用途更广。本文专门介绍如下:

狄拉克梳状函数的定义式为

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(1)

其时域波形是周期为T的单位冲激串,所以也称为理想抽样函数,如下图所示:

 

(原创)狄拉克梳状函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

图1 狄拉克梳状函数的时域波形

我们当然可以按周期函数的傅立叶级数方法求其频谱。其傅立叶系数为

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(2)

所以其傅立叶级数展开式为

(原创)狄拉克梳状函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(3)

可见其频率成分只分布在ω=nω1 (n=0,±1,±2,…)的离散频点,各频率分量幅度值均为1/T 。其双边频谱图如下:

(原创)狄拉克梳状函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

图2 狄拉克梳状函数的傅立叶系数

其频谱为离散频谱,谱线高度为1/T,频率间隔为ω1=2π/T 。

其实引进了冲激函数的概念之后,对一般周期函数也可以求其傅里叶变换为

(原创)狄拉克梳状函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(4)

其中Cn为周期函数的傅立叶系数。

所以根据式(4)和(2),可以用傅里叶变换直接对狄拉克梳状函数式(1)求其频谱函数

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(5)

其频谱图如下:

(原创)狄拉克梳状函数(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

图3 狄拉克梳状函数的傅里叶变换

可见狄拉克梳状函数的傅里叶变换仍然是频域的狄拉克梳状函数,频谱冲激串的周期是基频ω1 ,并且冲激强度也均为ω1 。

用狄拉克梳状函数表示离散信号和离散频谱,将给信号分析和处理带来极大的方便。详情且听下回分解。

(作者:周法哲2009-7-19于广东)

 

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