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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)Z变换简介  

2009-07-24 04:08:01|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,连续时间信号x(t)按时间间隔Ts(抽样周期)抽样后可得离散时间信号x(nTs),通常简单表示为离散时间序列

(原创)离散时间序列的Z变换(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(1)

Z变换就是适用于分析上述离散时间序列的一种数学工具。

一、概念的引入

过去我们在分析连续时间信号f(t)的频谱时有傅立叶变换

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(2)

其中离不开一个形如

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的虚指数因子。现在对于离散时间序列的分析,引入一个复指数因子z,即

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其中σ是实变量。显然z是一个复变量,可表示为

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(5)

其模为

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(6)

其幅角为

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(7)

这里把Ω称作数字角频率,单位为弧度(注意与模拟角频率ω不同)。其中Ts 为离散时间信号的取样周期。

二、单边Z变换的定义

设有离散时间序列x(n),n=0,±1,±2,±3,…,则其单边Z变换定义为下列复数项级数:

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(8)

显然是复变量z的函数,记为

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(9)

类似于傅立叶变换的逆变换还原出连续时间信号f(t),而Z变换的逆变换也可还原出离散时间序列。即逆Z变换定义为

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(10)

其中C为X(z)的收敛域中围绕原点逆时针的圆周。

三、Z变换的收敛域

所谓Z变换的收敛域(Region Of Convergence,缩写为ROC),是指符合收敛条件的所有z的集合。Z变换的收敛条件是其绝对可和,即模值满足如下条件

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(11)

Z变换才有意义。比如有限长序列x(n)的Z变换的ROC,至少是

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(12)

四、双边Z变换定义

设有离散时间序列x(n),n=0,±1,±2,±3,…,则其双边Z变换定义为下列复数项级数:

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(13)

与单边Z变换相同,其中复变量z为复指数函数

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(14)

理论上不难证明,Z变换的实质就是离散化的拉普拉斯变换。

本文仅仅导入Z变换的基本概念。如何利用Z变换对于离散时间序列进行傅立叶分析?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-7-23于上海)

 

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