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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)什么是DTFT?(图)  

2009-07-26 10:44:55|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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“DTFT”是“Discrete Time Fourier Transformation”的缩写,中文术语是“离散时间傅立叶变换”。传统的傅立叶变换(FT)一般只能用来分析连续时间信号的频谱,而计算机只会处理离散的数字编码消息,所以现代社会需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。DTFT就是IT领域中对离散时间信号进行频谱分析的数学工具之一。

一、定义

设有离散时间序列x(n),则其离散时间傅立叶变换(DTFT)定义为

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 (1)

其中Ω为数字角频率,单位为弧度。而上式的逆变换称之为X(e^jΩ)的傅立叶逆变换(IDTFT),定义为

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(2) 

二、DTFT与Z变换的关系

其实DTFT是一种特殊的Z变换。在Z变换中,如果复变量z仅在z平面的单位圆(r=|z|=1或σ=0)上取值,则复变量转化为纯虚变量,即

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(3) 

那么根据双边Z变换的定义便可导出DTFT:

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(4) 

同理也可导出其逆变换IDTFT:

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(5) 

这里Z变换的收敛域(ROC)是z平面上的单位圆,逆变换的环路积分路径C对应于数字角频率Ω的一个周期(-π,π)作为积分区间。

三、离散时间序列的频谱

离散时间序列x(n)的傅里叶变换(DTFT),是数字角频率Ω的复函数,也叫频谱函数,可以表示为

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(6) 

其模 |X(e^jΩ)|  为幅度频谱,其幅角φ(Ω)为相位频谱,均为数字角频率Ω的连续函数。其中数字角频率

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(7) 

也是复变量e^jΩ 的幅角,周期为2π 。从而离散时间序列x(n)的频谱X(e^jΩ),也是数字角频率Ω的以2π 为周期的周期函数。

四、DTFT的用途

就如用傅立叶变换(FT)可以分析连续时间信号的频谱一样,我们利用DTFT可以分析离散时间序列的频谱。

例1:最简单的离散时间序列就是单位样值序列δ(n),由式(1)可求其DTFT为

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(8) 

说明单位样值序列δ(n)的频谱是数字角频率Ω域上的常量1。如果给定时间信号的抽样周期Ts,由式(7)可知其频谱是ω域上的水平线。

例2:长度N=4的单位矩形序列

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(9) 

如下图所示:

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图1 单位矩形序列(长度N=4)

显然是长度为N=4的有限长离散时间序列。根据式(1)可求其DTFT为

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(10) 

幅度频谱为

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 (11)

相位频谱为

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(12) 

注意:其中(原创)什么是DTFT?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客表示方括号内表达式引入的相移。

单位矩形序列(原创)什么是DTFT?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客的幅度频谱图为

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图2 单位矩形序列(长度N=4)的频谱

相位频谱图(略)。

可见单位矩形序列的频谱(DTFT)是连续频谱,且是数字角频率Ω的周期函数,周期为2π。

五、DTFT的局限性:

离散时间傅里叶变换(DTFT)是特殊的Z变换,在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为,在DTFT的变换对中,离散时间序列在时间n上是离散的,但其频谱在数字角频率Ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。

所以,如果要想利用计算机实现DTFT的运算,必须进一步探索路子,建立时域离散和频域离散的对应关系。详情且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-7-25于广东)

 

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