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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图)  

2009-07-28 23:37:16|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,非周期信号的离散时间序列,理论上可由离散时间傅里叶变换(DTFT)求出其频谱函数,一般是连续频谱。但连续频谱不便于计算机处理,必须进一步探索路子,建立时域离散和频域离散的对应关系。

一、离散时间周期序列

如果对一个连续时间周期信号(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,利用单位样值序列(类似于狄拉克梳状函数)

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(1)

进行抽样,则可得到离散时间周期序列(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

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(2)

如果以连续时间周期信号(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客为三角波为例,则抽样后的离散时间周期序列(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客如下图所示:

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

图1 离散时间周期序列举例

离散时间周期序列的频谱是否也是离散周期序列呢?

二、DFS的定义

我们知道,对于连续时间周期信号,可展开为傅立叶级数

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(3)

而对于序号n以N为周期的离散时间周期序列(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,考虑到

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(4)

也可以展开为傅立叶级数

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(5)

其中傅立叶系数

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(6)

当整数k取值变化时,上式是以N为周期的序列。可以看出式(5)的级数也是以N为周期,所以求和只限于N项。

科学上把

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(7)

定义为离散时间周期序列(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客的离散傅立叶级数系数(DFS),记为

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(8)

其逆变换即

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(9)

上述两式构成一个离散周期信号的离散傅立叶级数对。它们都是以N为周期的离散周期序列。注意:离散傅立叶级数(DFS)由于是有限项求和,所以总是收敛的。

三、离散时间周期序列的频谱

由式DFS定义式(8)和离散时间周期序列的表达式(2)可知,一个离散时间周期序列可以分解为有限个(N个)无穷序列之和,每个序列都是无穷多个谐波分量,频率间隔为Ω1=2π/N,第k次谐波数字角频率为Ωk=kΩ1=k2π/N 。因为整数k和n都是以N为周期的,离散时间周期序列的频谱也是频域离散的周期序列。

例:周期为N=10的单位矩形周期序列(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客如下图:

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

图2 单位矩形周期序列(N=10)

其离散傅立叶级数(DFS)为

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(10)

其幅度频谱为

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(11)

频谱图如下图:

(原创)离散傅立叶级数(DFS)(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

图3 单位矩形周期序列(N=10)的频谱

可见,离散时间周期序列的频谱也是频域的离散周期序列。离散傅立叶级数(DFS)对周期序列实现了时域离散和频域离散的对应关系。

四、DFS的局限性

在离散傅里叶级数(DFS)中,离散时间周期序列在时间n 上是离散的,在频率Ω上也是离散的,且频谱是Ω的周期函数,理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。

但由于其在时域和频域都是周期序列,所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此,还有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。详情且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-7-28于广东)

 

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