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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)傅立叶级数(图)  

2009-07-04 00:21:58|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,周期矩形脉冲信号可以分解成直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加。那么对于一般的周期信号,如何“化验”它们的频率成分呢?本文介绍的数学工具――傅立叶级数(Fourier Series,简称FS)就是法宝。

一、傅立叶级数

数学理论上的傅立叶级数概念是说:对于一个周期为T的周期函数fT(t),不妨如下图所示:

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图1 一般周期函数的时域波形示意图

在一定条件下可以展开为傅立叶级数之和,即:

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 (1)

其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率,也就是信号的基频;傅立叶系数分别为

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(2)

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(3)

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(4)

在信号分析理论中a0叫做直流分量,an叫做余弦分量系数,bn叫做正弦分量系数。

注意:数学上周期函数fT(t)在连续点t处展开为傅立叶级数的条件是,满足如下的狄利克雷(Dirichlet)条件:

1、函数fT(t)在(-T/2,T/2)上连续或只有有限个第一类间断点(左右极限都存在);

2、函数fT(t)在(-T/2,T/2)上只有有限个极值点。

二、周期信号的频谱

根据傅立叶级数的概念,如果周期信号满足狄利克雷条件,则可以分解为傅立叶级数之和,即可分解成无穷多种频率成分的正弦函数的叠加:

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(5)

其中n=1时,频率ω1=2π/T的成分叫做基波,可表示为

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(6)

基波的振幅为

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(7)

初相位为

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(8)

同理,第n次谐波成分可表示为

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(9)

振幅为

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(10)

初相位为

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(11)

此外,由傅立叶级数可知,周期信号fT(t)一般还包含直流分量,其幅值为周期信号在一个周期上的平均值:

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(12)

综上所述,对于一个周期信号fT(t),一般可以分解成直流分量、基波和无穷多个高次谐波分量的叠加。各次谐波的频率nω1是基频ω1的整数倍;各次谐波的振幅一般也不同,通常高次谐波分量的幅值较小。

这样,时域的周期函数fT(t)也可以用频域的频谱函数表示为

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(13)

其振幅频谱图的一般示意图如下:

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图2 一般周期信号的振幅频谱示意图

当然,根据式(8)和(11)也可以画出周期函数的相位频谱图。

显然,一般周期函数fT(t)的频谱是离散频谱,相邻谱线的频率间隔等于基频ω1。实际IT工程技术中,许多时域周期信号都满足狄利克雷条件,都可以展开为傅立叶级数,从而方便地确定其频谱。

上述的傅立叶级数表达式是傅立叶级数的三角形式,在实用中还有傅立叶级数的指数形式。且听下回分解。

(作者:周法哲2009-7-3于广东中山)

 

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