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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)非周期信号的周期(图)  

2009-07-07 23:52:29|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,对于时域的周期信号,可以利用傅立叶级数尤其是其虚指数形式,方便地进行其频谱分析。那么对于非周期信号如何分析其频谱呢?本文首先剖析非周期信号与周期信号的内在联系。

周期信号是由客观世界中的振动、旋转等物理现象产生的。周期信号在一个基本周期内的波形,便完整准确地提供了信号随时间变化的全部信息特征:周期(或频率)、振幅、初相位及变化快慢。所以可以展开成傅立叶级数,从而方便地进行频域的分析。

数学意义上的周期信号是指在无穷时间上、无限次重复出现某一变化规律的周期函数。但物理上不存在这种无限持续、无始无终地重复着某一变化规律的理想信号。实际存在并需要研究的周期信号,只不过是指在较长时间内按照某一规律重复变化的物理信号。严格来讲,一切实际信号都属于数学上的非周期信号。

况且IT等领域中的实际信号,也有许多本来就是时域上的非周期函数(含近代出现的准周期函数)。所以不能简单地直接采用周期信号的傅立叶级数的频域分析方法。那么对于非周期信号,如何进行频谱分析呢?

其实,周期信号与非周期信号之间并没有绝对的界限,在一定条件下是可以互相转化的。请听周法哲慢慢道来:

对于一般的非周期信号f(t),在时域的图象如下图所示:

(原创)非周期信号的周期(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

图1 非周期信号的时域曲线

我们可以另外定义一个相应的周期函数fT(t),使它在一个周期(-T/2,T/2)上与非周期信号f(t)完全相同,其余时间区域上按周期T延拓出去,即

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(1)

其时域波形如下图所示:

(原创)非周期信号的周期(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

图2 周期函数的时域波形

显然,其周期T取得越长,周期函数fT(t)越接近于非周期函数f(t),如下图所示:

(原创)非周期信号的周期(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 

图3 取周期较长时,周期函数的时域曲线

设想让周期T趋于无穷大时,我们定义的周期函数fT(t)就完全等于非周期函数f(t),即

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(2)

可见非周期函数可以看作周期为无穷大的周期函数。这是解决问题的核心思想。

由傅立叶级数的指数形式,代入傅立叶系数,有

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(3)

当T趋于无穷大时,频率间隔ω1=2π/T变成无穷小的频率微分dω,离散频率nω1变成连续变化的频率ω,无穷级数之和转化为对频率的积分,对应的积分区间为(∞,-∞)。另一方面fT(t)就完全等于f(t)。上式方括号内的积分区间(-T/2,T/2)变成(∞,-∞),积分变量t与方括号外无关,不妨记为τ。所以上式可写成

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(4)

这就是傅立叶积分公式。对于一个非周期信号f(t)在什么条件下可以用傅立叶积分表示?有下述的傅立叶积分定理。且听下回分解。

(作者:周法哲2009-7-6于广东)

 

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