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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)DFT的局限性(图)  

2009-08-02 23:27:28|  分类: 信息科学札记 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,离散傅里叶变换(DFT)是数码时代信号分析与合成的最重要的工具,理论上讲,几乎所有的物理信号(连续的或离散的、周期的或非周期的)的傅立叶分析都可以采用DFT实现计算机运算。但DFT也有其问题和局限性。为此,科技界创造了很多对策。本文简单介绍几个:

一、混叠失真与采样定理

一般的模拟信号为连续时间非周期信号xa(t),根据傅立叶变换(FT)知其频谱为频域的连续函数Xa(jω)。

为了便于计算机处理,我们必须首先把模拟信号xa(t)经等间隔Ts采样后,变成离散信号――离散时间序列x(n)。然而根据离散时间傅立叶变换(DTFT)理论可知,离散信号的频谱是数字角频率Ω域周期为2π的周期函数,即

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(1)

可以看出,在频域它是连续时间非周期信号xa(t)的频谱Xa(jω)以采样圆频率

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(2)

为周期作频率移位后的叠加。

如果Xa(jω)的带宽不是有限的,部分频谱就会重叠在一起,发生频谱混叠。在我们使用DFT进行N点采样计算时,势必产生混叠失真。

为了减少混叠失真,科技界的对策是采样定理:必须要求采样频率

(原创)DFT的局限性(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(3)

其中fC为时间信号成分中的最高频率。满足上述条件的采样频率叫做奈奎斯特频率

实际中常用低通滤波器滤掉模拟信号中高于fs/2的成分,使之变成带限信号,再进行离散采样和DFT运算,尽量避免频谱混叠,提高频谱分析精度。因为采样频率总是有限的,所以低通滤波后的带限信号总有失真。为此在运用DFT时应该尽可能提高采样频率,势必增加DFT变换区间的采样点数N。

二、频谱泄漏与最佳加窗

DFT是对有限长序列进行变换,如果离散时间序列x(n)的长度无限,就要进行截断处理,相当于乘以单位矩形序列加窗处理。

但加窗处理的副作用有二: 

1、频谱泄漏――谱线向附近展宽(主瓣宽度为4π/N),引起混叠失真;

2、谱间干扰――频谱主瓣两侧产生许多旁瓣,淹没弱小频率成分,或被误认为其它谱线。

上述截断效应不可避免,实际中,尽量选用能量集中的窗函数,如汉宁窗等。理论上可以尽量增补加窗序列的点数N,加长变换的区间,尽量减少截断效应。

三、栅栏效应与增加密度

DFT实质上是将连续频谱抽样成N点的离散频谱,理论上总会有频谱失真,即栅栏效应。为提高精度,可增加谱线密度,即可在有限长离散时间信号尾部补零多位(增加采样点数N),增大观察时间,提高频率分辨率。

四、DFT的计算量与处理速度

综上所述DFT存在的问题及其解决办法大都与采样点数N有关,理论上讲增加采样点数N便可以提高计算精度,避免或减少频率失真。但仅仅简单地增加采样点数N会不会带来新的问题呢?

让我们先看看点数N与DFT的计算量的关系。因为有限长序列x(n)的N点DFT为复数项级数

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(4)

所以可以看出,对于长度为N的序列,完成其N点DFT计算需要进行N^2 次复数乘法和N(N-1)≈N^2 次复数加法。逆变换运算量亦然。

假设一个点数N=1024的信号,则DFT计算量仅复数乘法运算就高达104万次以上。加上复数加法并考虑逆变换的计算量,则共计400万次以上。如果折合成计算机底层的二进制加法,计算量可能是天文数字!

对于现在的计算机速度来说,完成这样的计算量依然不成问题。但对于需要实时处理海量信号的实时测控系统,一般计算机的处理速度就难于胜任工作了。

可见设法减少DFT的运算量至关重要,因而催生出了DFT的各种快速算法,甚至还创造出了一个科学界历来最伟大的公式。详情且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2009-8-2于广东)

 

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