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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)爱因斯坦求和约定  

2009-08-29 22:07:46|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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线性空间也叫做矢量空间(或向量空间)。在三维线性空间里,如果我们选择沿坐标线x1,x2,x3的参考矢量分别为g1,g2,g3,则空间中的任一矢量P可表示为这三个参考矢量的线性组合:

(原创)爱因斯坦求和约定 - 周法哲 - 周法哲的博客(1) 

其中参考矢量g1,g2,g3叫做坐标系的一组基矢量,简称基矢。P1,P2,P3叫做矢量P对该组基矢分解的三个分量。

在n维线性空间里,如果维数n(n为正整数)很大,则一个矢量的分量表达式(1)就会很长。好在数学界创造了求和符号Σ,使序列求和的表达式大大缩短。比如在三维线性空间里一个三维矢量的表达式(1)可以写成

(原创)爱因斯坦求和约定 - 周法哲 - 周法哲的博客(2) 

如果在n维线性空间里,可以选择一组n个基矢,则一个任意矢量可以表示为

(原创)爱因斯坦求和约定 - 周法哲 - 周法哲的博客 (3)

虽然采用求和符号可以使表达式简短,但在现代有些数学物理领域,仍显麻烦。于是爱因斯坦在创立相对论的研究过程中,就创造了一个“约定”:

1、在同一项中,如果同一指标(如上式中的i)成对出现,就表示遍历其取值范围求和。这时求和符号可以省略。

2、上述成对出现的指标叫做哑指标,简称哑标。表示哑标的小写字母可以用另一对小写字母替换,只要其取值范围不变。

3、当两个求和式相乘时,两个求和式的哑标不能使用相同的小写字母。为了避免混乱,常用的办法是根据上一条规则,先将其中一个求和式的哑标改换成其它小写字母。(这一条规则以后会用到)

这就是爱因斯坦求和约定。

比如式(3)用爱因斯坦求和约定可以简单写成

(原创)爱因斯坦求和约定 - 周法哲 - 周法哲的博客 (4)

上式右边表达式的本意就是在i=1,2,…,n整个取值范围内求和,即

(原创)爱因斯坦求和约定 - 周法哲 - 周法哲的博客 (5)

甚至可以改换哑标,表达式的意义不变。即

(原创)爱因斯坦求和约定 - 周法哲 - 周法哲的博客(6) 

可见采用爱因斯坦求和约定,可以使数学表达式显得简洁明快。多爽啊!

爱因斯坦求和约定可以应用到很多数学物理空间中,且听下回分解。

(作者:周法哲2009-8-29于广东)

 

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