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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)置换符号ε入门(图)  

2009-09-13 23:17:36|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,在笛卡儿坐标系中,三个坐标基矢是一组标准正交基。它们之间的点积关系可以用克罗内克尔符号简洁地表示为

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(1)

然而笛卡儿坐标系单位基矢之间的叉积关系又如何表示呢?

一、两个矢量的叉积

我们知道,两个矢量的叉积仍是一个矢量,大小等于两矢量大小之积乘以两矢量夹角的正弦,方向垂直于两矢量所在的平面且与两矢量方向成右手螺旋系。设矢量ab的夹角为θ,则叉积为矢量c,即

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其中e_c为c方向上的的单位矢量

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如下图所示:

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图1 矢量的叉积

通俗点说,矢量叉积a×b的大小等于两矢量张成的平行四边形的面积,叉积的方向垂直于平行四边形,如图中的c的方向。如果叉积的次序倒置,则大小不变,但方向相反,即有

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即两个矢量叉积的方向永远遵守右手螺旋法则。

注意:两个矢量夹角θ的正弦与其中一个矢量模值的乘积,就是平行四边形的高,直接影响叉积的大小(平行四边形的面积)。特殊地,如果两矢量夹角为90度(即方向相互垂直),则其叉积最大(矩形面积);如果两矢量方向相同或相反(夹角为0或180度),则其叉积为0。

二、置换符号ε的由来

在三维笛卡儿坐标系中,由于坐标基矢均为两两相互正交的单位矢量,所以任意两个坐标基矢的叉积也是单位矢量,方向与它们均垂直,假定坐标系是右手螺旋系,则该叉积恰好等于另一个坐标基矢。即

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但叉积的方向与两矢量相乘的顺序有关,反过来叉积又有

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另外,矢量与自身的叉积恒为0,即

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如下图所示:

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图2 三维笛卡儿坐标系

为了简洁地表达上述那么多的叉积关系,人们创造了如下的符号表达式

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称之为置换符号,或排列符号,也叫做Levi-Civita符号。

注意:置换符号有3个下标,可以使用任何小写字母代表。

利用置换符号,上述式(5)、(6)、(7)所描述的一系列基矢叉积关系,就可以一并简洁地记为

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这就是笛卡儿坐标系单位基矢之间的叉积关系。其中i,j,k可取值1,2,3,为坐标系三个单位基矢的下标。

三、置换符号的用途

有了置换符号,在研究多维矢量乃至张量时就方便多了。比如有两个矢量在笛卡儿坐标系的分量表达式分别为:

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则这两个矢量的叉积就可以表示为

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这样表示的矢量叉积在张量运算中十分方便。注意,这里的哑标都采用爱因斯坦求和约定。

此外还有,三个矢量的混合积可表示为

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三阶行列式的值可表示为

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总之,置换符号还有许多用途。

四、置换符号与克罗内克尔符号的关系

根据置换符号的定义,置换符号ε_ijk共有27个分量,除了6个分量外,其余大部分都为0。即

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不难导出置换符号与克罗内克尔符号之间有如下主要关系:

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置换符号的乘积等于克罗内克尔符号构成的行列式:

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(17)

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甚至还有

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置换符号也叫做排列张量或交叉张量。为什么呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-9-13于广东)

 

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