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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)从白线性空间谈起(图)  

2009-09-17 23:22:27|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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我们都生活在形形色色的空间中。数学上所说的空间就是点的集合,如果我们给这个点集赋予特定的空间结构(引入不同的确定关系)。但世界上不存在毫无任何空间结构的“裸空间”。如果我们赋予空间以线性结构(可加性与数乘性),则这个空间就叫做线性空间。

一、线性空间

只要在点集中定义了加法和数乘两种代数运算,则称之为赋予空间以线性结构,这样的点集(空间)就叫做数域P上的线性空间。

其中用于数乘的数域P是指包含0和1的数集,并且数集对加、减、乘、除(0不作除数)运算是封闭的。

此外,实数域R上的线性空间叫做实线性空间,复数域C上的线性空间叫做复线性空间。

二、广义向量空间

线性空间的元素是空间点,任一元素都可以用一组有序的数(x1,x2,…)(或曰一组空间坐标)来表示。如果我们把空间点的一组坐标看作一种广义的向量,则线性空间又可视为广义向量的集合,称之为广义向量空间。换句话说,线性空间的元素是广义的向量。广义向量的维数可以有限,也可以无限。所以线性空间的维数可以是有限的,也可以是无限的。

如果一组向量线性无关,则其中任何一个向量都无法用其余向量线性表出。在一个向量组中,向量的极大线性无关组中向量的个数叫做向量组的秩。向量组的秩必然等于向量的维数。

线性空间是向量的集合,其中的极大线性无关组不是唯一的,可以根据需要选取。但同一空间中极大线性无关组的秩都是相等的。其中选定的任何一个极大线性无关组,都可以作为线性空间的一组基向量,简称基。所谓“基”的含义,就是说该空间中的任一个向量γ都可以用该组基向量(原创)从白线性空间谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客的线性组合表出(数学上称之为线性表出或线性表示)。即 (原创)从白线性空间谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

其中基的秩n叫做线性空间的维数,数组(原创)从白线性空间谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客为向量γ在该组基下的表出系数(组合系数、表示系数),我们称之为向量γ在基(原创)从白线性空间谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客下的坐标。

当选定一组基后,某个向量的一组坐标就是唯一的。但线性空间的基不是唯一的,所以同一个向量在两组不同的基下的坐标也是不同的。

三、矢量空间

线性空间的维数可以有限,也可以无限。通常我们把有限维的实线性空间叫做矢量空间。这是因为矢量的概念来源于三维实线性空间,矢量实体的几何形状来源于中国古代的矢(箭),抽象为带箭头的线段。

矢量空间的元素是n维矢量,如果我们选定一组n个线性无关的参考矢量g1,g2,...,gn作为基底矢量(简称基矢),而空间中的其余元素(矢量)都与这一组基矢线性相关,即矢量空间中的任一元素(矢量)P都可以分解或表示为这一组基矢的线性组合 (原创)从白线性空间谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

则表出系数(原创)从白线性空间谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客叫做矢量P在该组基矢(原创)从白线性空间谈起(图) - 周法哲 - 周法哲的博客下的坐标,有时也叫做分量或坐标分量。

注意:在矢量空间中,一组基矢的选取不是唯一的,所以同一个矢量在两组不同的基矢下分解表出,其两组坐标分量也可能是不相同的。

朋友们如果有兴趣,可以关注线性空间、向量空间与矢量空间的细微差别。但在大多数情况下,可以不加区别。

四、白线性空间

我们日常生活的空间大都是三维的真欧氏空间,是一种定义了欧氏距离的度量空间,属于有限维的内积空间,也属于赋范线性空间。在欧氏空间中,有了元素长度和距离的概念,如果我们选择或建立了参考系,进而还有角度的概念。我们最熟悉的是笛卡儿坐标系,即正交直线坐标系,俗称直角坐标系。自古以来我们都早已习以为常。

现在我们需要洗洗脑,把长度(距离)、角度(包括正交或曰垂直)等传统概念一律清零,暂时退出欧氏空间并放弃笛卡儿坐标系的习惯。那么我们这个空间还剩什么?任何元素都没有长度、没有距离、没有内积、没有角度、更没有直角(垂直和正交),一派清清白白的未赋范线性空间!也许有人认为类似仿射空间,但周法哲喜欢称之为白线性空间。因为就像一张白纸,没有负担,好写最新最美的文字,好画最新最美的图画。

喂!你究竟想干什么?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-9-17于广东)

 

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