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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)矢量投影的再认识(图)  

2009-09-01 21:25:59|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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矢量又称向量,是指既有大小又有方向的量。比如物理学上的力、位移、速度、加速度等。矢量通常用加粗的字母表示。还有许多物理量只有大小而没有方向,或我们对其方向性不感兴趣,这就是我们最常见的数或数量,在数学上称之为标量。比如物体的质量、密度、长度、面积、体积、能量、功、功率等。标量通常用不加粗的字母表示。为了研究现代数学空间与张量的概念,有必要先搞清矢量投影的实质含义。

一、矢量投影的实例

设原位置在O点的物体,在外力F的作用下发生的位移为矢量S,那么外力所做的功为多少呢?如果外力的方向与位移的方向一致,则所做的功为

(原创)矢量投影的再认识(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (1)

但一般情况下两个矢量的夹角为θ(实际上取值在0~180度之间),如下图所示:

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图1  矢量的投影

则应先求出外力F在位移S方向上的投影

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再根据公式(1)求出外力所做的功

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由式(2)可见:一个矢量在另一个矢量上的投影是个标量,大小等于该矢量的模与两矢量夹角余弦的乘积。

二、矢量投影的概念

数学上的投影概念来源于实践。设想与矢量S方向垂直的一束平行光线,照射在矢量F上,在OS直线上形成了一段影子,记为OF’,这个有向的影子线段OF’就是矢量F在矢量S方向上的投影。如下图所示:

(原创)矢量投影的再认识(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

图2  矢量投影的概念

根据上述意义,矢量F在矢量S上的投影定义为

(原创)矢量投影的再认识(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(4) 

可见:投影Fs与目标矢量S的大小无关,但与目标矢量S的方向有关,体现在两矢量的夹角θ上。如果夹角是锐角,投影为正实数;如果夹角为钝角,投影为负实数;如果夹角为直角,投影为0,即一个点。

注意:既然投影的概念涉及到夹角余弦,则投影的“光线”必须与投影所在的直线(或目标矢量)垂直。这一点在张量空间的研究中非常重要。

三、矢量的点积

一般地,任意两个矢量ab的点积定义为

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其中θ为两个矢量的夹角。如下图所示:

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图3  矢量的点积

可见两个矢量的点积是个标量,数值上等于其中一个矢量的模与另一个矢量在其上的投影的乘积。即

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例如图1中外力所做的功,就是力和位移两个矢量的点积

(原创)矢量投影的再认识(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(7) 

另外说明一点,点积是符合交换律的。即

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但投影不符合交换律,必须指明谁对谁上的投影。即

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四、矢量的投影与坐标分量

众所周知,模为1的矢量叫做单位矢量,记为e。即有

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如果一个矢量与一个单位矢量点乘,则其点积等于该矢量在该单位矢量上的投影。即

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换句话说,矢量的投影实质上就是矢量与投影方向上单位矢量的点积。如下图所示:

(原创)矢量投影的再认识(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

图4   矢量在单位矢量上的投影

综上所述,投影反映的是两个矢量之间的相对位置关系,是客观存在的一种相互关系。粗略地说,投影与坐标系并无直接关系。但矢量的描述总离不开坐标系。在笛卡儿坐标系中,任一矢量在坐标线上(实质是坐标基矢上)的投影,恰好等于该矢量在该坐标上的分量(也叫坐标或坐标分量)。

但要注意:如果不是在笛卡儿坐标系中,矢量的投影就不一定等于坐标分量啦!可见矢量的“投影”与“坐标分量”并不是同一个概念。这一点对于张量概念的建立非常重要,可要特别注意哦!

究竟为什么?详情且听下回分解。

(作者:周法哲2009-8-30于广东)

 

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