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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)为什么要建立坐标系?(图)  

2009-09-20 11:19:20|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,白线性空间是没有长度、距离、角度等度量的线性空间,但决不是任何结构属性也没有的“裸空间”,白线性空间至少还有线性结构。当然,也只有线性结构。在这样的空间里能不能建立坐标系呢?能建立什么样的坐标系呢?首先谈一谈:为什么要建立坐标系?

中国古人几千年前就知道宇宙万物生于“道”,“道生一,一生二,二生三,三生万物。”现代科学也证明,我们的宇宙空间本来就是高度对称的,任何空间点都是一律平等的,无所谓高低贵贱;空间方向都不是绝对的,任何方向都毫无优越性可言,具有高度的球对称性。我们的白线性空间就是这种“太初”时期“大同世界”的数学抽象,只不过我们规定了空间各点之间的线性结构,所谓线性结构,就是元素――空间点之间的“加法”。“数乘”归根到底也还是相同元素连续多次相加运算的“批发”或“批处理”。

人类在认识世界的过程中,为了便于描述事物的相对位置关系,不得不选择一个参考点,这就是“原点”。当原点O选定后,空间中的其余各点的方向就可以用从原点O出发的射线来描述。因为在白线性空间中我们规定了所有空间点之间的加法和数乘等数量关系(线性关系),所以空间任意一点P相对于原点O的位置,就可以用从O到P的有向线段来唯一地确定,这就是向量,也可以叫做矢量。

白线性空间虽然也是空间点的集合,但我们一旦选定了参考点――原点O之后,空间各点又可以与原点构成无数个矢量,而且这样的矢量与空间点一一对应,所以线性空间也叫向量空间或矢量空间。所谓白线性空间,“白”就白在这种空间中还没有给矢量定义长度(模值或范数),还不是度量空间,更不是欧氏空间,矢量之间仅仅有线性关系存在。

可以想象,在白线性空间里有无数多个矢量,都从原点出发,好像太阳光芒四射。如下图所示:

 

(原创)为什么要建立坐标系? - 周法哲 - 周法哲的博客

图:白线性空间中的矢量

如果我们任意选取一组合适的矢量作参考矢量,则可以建立一个直线坐标系。所谓“合适”,是指我们选取的这一组矢量要相互线性无关,矢量的个数还要足够空间的维数。数学上把符合这样条件的矢量组称之为极大线性无关组。选取“合适”的一组矢量,目的是为了以这样的矢量组为基础建立坐标系,所以数学上把空间中的极大线性无关组叫做空间的一组“基”,基中的矢量都叫做基矢量,简称基矢。

在白线性空间里,我们选定了原点,又选取了合适的一组基矢,就可以建立一个坐标系。有了一个完整的坐标系作参考系,空间中的任何元素就都有了坐标定位。正如中国的《周易》所言:“天尊地卑,乾坤定矣。卑高以陈,贵贱位矣。”有了定位和次序,空间中一切事物的描述就有了着落。

在这样的空间里能建立什么样的坐标系呢?详情且听下回分解。

(作者:周法哲2009-9-20于广东)

 

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