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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)两组基矢之间的关系(图)  

2009-09-26 23:38:30|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,白线性空间中的基矢组的选取不是唯一的,如果选取不同的基矢组,则可建立不同的坐标系。这一回说一说同一个空间里两组基矢之间存在什么样的关系。

假定在同一个白线性空间中,我们又选取了一组基矢(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,则可以再建立一个二维直线坐标系。它和第一组基矢(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客之间有什么关系呢?为了便于比较,我们不妨让两个坐标系的原点重合,如下图所示:

 (原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

图  两组基矢之间的关系

基矢也是白线性空间的矢量,一样可以在另一组基矢下线性表出。如果把第二组基矢(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客逐个按第一组基矢(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客分解并线性表出,即

(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

用矩阵形式表示就是

(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

我们把上述基矢的表出系数矩阵称之为过渡矩阵,或曰基矢变换矩阵。记为

(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

基矢变换矩阵完全表明了同一空间两组基矢之间的关系。是线性变换过程中的重中之中。

如果我们把第二组基矢组成的列矩阵记为

(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 把第一组基矢组成的列矩阵记为

(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

则两组基矢之间的关系可简洁地表示为

(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

如果基矢变换矩阵A可逆,即为非奇异矩阵(行列式值|A|≠0),也就是说两组基矢线性无关,则还有反过来的变换关系式为

(原创)两组基矢之间的关系(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

其中A^(-1)为A的逆矩阵。

可见,有了过渡矩阵(基矢变换矩阵)A,两组基矢或曰两个坐标系之间的变换关系就完全确定了。

那好,在同一个白线性空间里,在基矢按照过渡矩阵A作变换时,同一个空间点P的描述坐标会如何变化呢?详情且听下回分解。

(作者:周法哲2009-9-26于广东)

 

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