注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

周法哲的博客

重新认识我们的世界

 
 
 

日志

 
 
关于我

做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

网易考拉推荐

(原创)坐标变换矩阵(图)  

2009-09-30 00:59:13|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

上一回说到,白线性空间中的两组坐标基矢之间的关系体现于过渡矩阵A。我们知道在白线性空间中,一个矢量实体是客观存在的事物,不会因人为的描述方式不同而有丝毫的实质性改变。换句话说,确定的一个研究对象――矢量实体只有一个,但如果选取不同的坐标系来描述它,会有不同的表出形式(坐标分量及其线性组合)。那么对于同一个矢量,在两组基矢(坐标系)下的两组坐标分量之间有什么关系呢?

不妨仍以上述的两个二维直线坐标系为例,白线性空间中的一个任意矢量P如下图所示:

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

我们已经知道,在第一个坐标系Oxy中,矢量P在第一组基矢下分解的坐标分量线性组合为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

同理,在第二个坐标系Ox'y'中,矢量P在第二组基矢下分解的坐标分量线性组合为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

既然两者描述的是同一个矢量,那么上述两种线性组合应该等效。令上述两式相等,即

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

写成矩阵形式,有

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

把两组基矢之间的过渡矩阵关系式代入上式,则有

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

比较等式两边,并利用转置矩阵的性质,有

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

如果我们把第一组坐标分量组成的列矩阵记为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

把第二组坐标分量组成的列矩阵记为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

则上述变换关系可简洁地表示为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

如果A的转置矩阵也可逆,即也为非奇异矩阵(行列式值|AT|≠0),那么两组坐标分量之间的关系可表示为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

事实上这也是空间任一点P在两个坐标系中的坐标之间的变换关系。若记坐标变换矩阵为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

则同一空间中两组坐标(分量)之间的变换关系可简洁地表示为

(原创)坐标变换矩阵(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

显而易见,在同一空间里,坐标变换矩阵B是过渡矩阵(基矢变换矩阵)A的转置逆矩阵。

那么当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时,坐标系中其它对象的所有参量是否都象矢量的坐标分量那样一律按照坐标变换矩阵B的规律变换呢?详情且听下回分解。

(作者:周法哲2009-9-29于广东)

 

  评论这张
 
阅读(8982)| 评论(13)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017