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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)标量与张量的起源(图)  

2009-09-04 20:50:59|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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人类对数的认识起源于原始社会时期,十进制数概念的创立源自我们人类通常都有10个手指头。人类创造数的目的是为了描述某种量。比如妈妈采到了3个野果子,姨妈采到了4个野果子,舅父采到了2个野果子。姥姥在统计“战果”时运用加法运算,“结果”是今天全氏族一共采集到9个野果子。这里的每一个数都代表了一种“量”。这就是最早的“数量”概念,后来也叫“标量”。

起初,人们总喜欢用“一个数”来表示某种“量”。但后来发现,世间的事物是复杂的,有许多“量”不能只用“一个数”来表示,而是要用更多的数(按一定规则)才能表示一种“量”。我们现代数学把只须用“一个数”就能表示的“量”叫做标量(或数量);而不能只用“一个数”表示的“量”就叫做张量。矢量(或向量)只是张量的一种。

我们的祖先在认识世界的初期,认为大地是个无限大的平面,甚至认为这个平面是方形的。为了描述物体的方位,经常以自身为参考基点,分出前后、左右四个方向。比如告诉你哪里有水,不仅告诉你水源离这儿有多远,还会指给你朝哪个方向走。要描述水源的位置,除了需要用“一个数”(距离有多少步)之外,还需要指定一个方向。这就是人类最早的矢量(向量)概念。人们很快发现在这个平直的二维空间里,只要选取了一种参考系,用两个有序的数就可以准确地描述任一矢量。比如上述水源的位置,可以告诉你向前走多少步,再向左走多少步。这两个数既是水源(平面空间点)在该坐标系(以出发点为参考系原点)中的位置坐标,也是用来描述水源方位这个平面矢量所充分必要的两个数。

语言是某个族群的一种约定,数学语言也不例外。祖先们为了让生活空间的描述更具统一性和稳定性,重新选择了更广泛的参考系,约定以太阳升起的方向为东方,以太阳落下的方向为西方,以北极星的方位为北方,反之为南方,建立起了全人类通用的二维坐标系,直到今天的地图仍然万变不离其宗。有了东西南北的约定,再加上在人们的视野内物体位置有上下之分,就构成了中国古人所说的“六合”。这就是我们日常生活所在的平直空间。

在平直空间中,为了描述矢量和张量,人们最早建立起了三维的正交直线坐标系,并且选择沿坐标线方向的单位矢量为基底矢量(简称基矢),这就是我们最熟悉的直角坐标系,数学上属于笛卡儿坐标系。如下图所示:

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图1  三维笛卡儿坐标系

采用三维笛卡儿坐标系,平直空间中的任一点P的位置只须用一组有序的三个数(x1,x2,x3)就可以唯一地确定,其中x1,x2,x3分别叫做空间点P的第一、第二、第三坐标。平直空间中的任一矢量P一般也需要用三个数来表示,这三个数就是矢量端点P的坐标(x1,x2,x3)。在笛卡儿坐标系中,任一矢量P可以按照一组单位基矢ei(i=1,2,3)展开为

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则矢量的三个坐标分量x1,x2,x3均为数量,且就是矢量端点P的坐标(x1,x2,x3)。特别在正交坐标系中,它们恰好等于矢量P在各个单位基矢上的投影。

由上图可以看出,每一个坐标(或坐标分量)只须用一个数就可以表示,所以叫做标量。每一个矢量P却不能只用一个数来表示(这里需要三个数),而是需要用多个分矢量

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张起的平行四边形或平行六面体的对角线才能表示的量,所以叫做张量。只不过矢量是一阶张量,我们习惯上仍称之为矢量或向量,而通常把二阶张量及三阶以上的高阶张量才称之为张量。

到底什么是张量?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-9-4于广东)

 

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