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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)克罗内克尔符号δ初步(图)  

2009-09-09 20:22:45|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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克罗内克尔符号δ(Kronecker δ)在现代数学和计算机科学中神通广大,不可不识。本文初步介绍笛卡儿坐标系中的克罗内克尔符号。

一、克罗内克尔符号的来由

在笛卡儿坐标系中,坐标基矢不仅均为单位矢量,而且两两相互正交(即夹角90度),这样的一组坐标基矢叫做标准正交基。如下图所示:

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

图1 三维笛卡儿坐标系

以三维笛卡儿坐标系为例,三个坐标基矢之间有如下点积关系:

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(1) 

即下标相同的两个基矢的点积(即每个基矢的自点积)都等于1,表明坐标基矢均为单位矢量;下标不同的两个基矢的点积都等于0,表明坐标基矢两两相互正交。

为了简洁地表达上述关系,人们创造了如下的符号表达式:

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (2)

称之为克罗内克尔符号,或克罗内克尔δ(Kronecker δ)。

上述的关系式(1)就可以简洁地记为

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (3)

这就是同一组正交标准基内部的点积关系。

二、克罗内克尔符号的矩阵形式

由定义式(2)不难构想,以克罗内克尔符号的分量为元素,可以构成一个矩阵

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(4) 

显然是一个单位矩阵。即

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(5)

这可以看作是克罗内克尔符号定义的矩阵形式。当然也是个对称矩阵,即有

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (6)

克罗内克尔符号可以推广到n维的笛卡儿坐标系去使用,只要牢记它的两个指标均遍历其取值范围即可。即式(2)、(4)、(5)、(6)都不言而喻地隐含

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (7)

在n维笛卡儿坐标系中,克罗内克尔符号的矩阵形式可以是n×n阶单位矩阵。

三、克罗内克尔符号的基本性质及用途

有了克罗内克尔符号,在研究多维矢量乃至张量时就方便多了。比如有两个矢量在笛卡儿坐标系的分量表达式分别为:

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(8) 

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(9) 

注意:这里使用了爱因斯坦求和约定(参见周法哲前几天的博文)。一对哑标(如i)可以同时用其它小写字母(如j)替换。替换哑标字母是为了作矢量乘法时避免指标混乱。

则这两个矢量的点积就可以表示为

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (10)

根据克罗内克尔符号的定义式(2)或(5)可知,指标i不等于j的求和项全为0,只有i=j的几项参加求和(这几项δ的数值为1),所以上式的求和结果还可以写成

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (11)

这与我们过去熟悉的矢量点积的如下算式殊途同归。

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(12) 

注意:比较式(10)和(11)的结果,可以发现克罗内克尔符号的一个重要性质:

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (13)

即:如果求和项中的哑标是克罗内克尔符号的指标之一,则结果是消去克罗内克尔符号,且另一个哑标因子的指标改换为原克罗内克尔符号的另一个指标(非哑标)。一般地,克罗内克尔符号的这个性质可表示为

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (14)

综上所述,在n维笛卡儿坐标系中,任意两个矢量的点积运算过程可简洁地描述为

(原创)克罗内科尔符号δ初步(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 (15)

克罗内克尔符号还有许多性质和更多的用途,请注意周法哲今后的相关博文。不过克罗内克尔符号可以描述矢量乃至张量的点积运算,那么,矢量的叉积有没有简洁的符号表示呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-9-8于广东)

 

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