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周法哲的博客

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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)过渡矩阵的性质  

2009-10-12 01:26:00|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,在同一空间里,当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时,其它对象的参量按照其变换规律可以分成两大类:随A协调一致地变换者叫做协变量;“逆转而变”者叫做逆变量。显然基矢变换矩阵(过渡矩阵)A是参量分类的基准。而这个过渡矩阵A又是什么东东呢?

一般地,在n维白线性空间里,一组基矢(原创)过渡矩阵的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客可以视为n个独立变量,另一组基矢(原创)过渡矩阵的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客是它们的n个齐次线性函数,即可以线性表出为

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其中基矢变换矩阵(过渡矩阵)A为n×n阶方阵

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矩阵元素在直线坐标系中通常为常数。n个齐次线性函数之间线性无关的条件要求A为非奇异矩阵,即行列式值|A|≠0。

另一方面,与基矢相应的两套坐标线(直线)坐标(空间点P的坐标或任意矢量P的坐标分量)可分别记为(原创)过渡矩阵的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客(原创)过渡矩阵的性质 - 周法哲 - 周法哲的博客,也可以相互表出为n个齐次多元线性函数,如:

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其中坐标变换矩阵B也是一个n×n阶方阵

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当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时,空间点P的坐标按照A的转置逆矩阵B变换,即“逆转而变”,所以两个变换矩阵的关系为:

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即A的转置矩阵与B互逆,有

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坐标变换矩阵B当然也满足可逆条件。根据定义,两个矩阵应有如下关系:

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这里克罗内克尔符号定义为

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注意:今后的克罗内克尔符号也可以有上下标之分,更具有普适性。

在白线性空间里,空间一切元素之间不存在正交概念,过渡矩阵A肯定不是正交矩阵,即一般地

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在白线性空间里,过渡矩阵A也不一定是对称矩阵,即一般地

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张量概念的前提是坐标变换,而坐标变换的核心关键是基矢变换矩阵(过渡矩阵)A。那么在白线性空间里,张量究竟是什么样的量呢?详情且听下回分解。

(作者:周法哲2009-10-12于广东)

 

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