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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)什么是一阶张量?(图)  

2009-10-15 14:19:02|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,张量概念的前提是坐标变换,而坐标变换的核心关键是基矢变换矩阵(过渡矩阵)A。在同一空间里,当坐标变换时,所有的参量按照其变换规律可以分成两大类:随A协调一致地变换者叫做协变量;“逆转而变”者叫做逆变量。那么一阶张量究竟是什么样的量呢?本文先介绍一阶逆变张量的定义。

一般地,在n维空间的任一坐标系中给定一组有序的数

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如果当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时,而这一组数X却按A的转置逆矩阵B变换,即变为

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则称这一组数为一个一阶逆变张量。通常用上标变量表示。

矢量的坐标分量(或矢端点的坐标)就是这样的一组数。当坐标基矢变换时,它们却逆转而变,所以属于逆变张量。又因为它们的变换因子中只乘了一个矩阵,所以属于一阶张量。下面举例说明。

在白线性空间里,有一矢量P,我们选定一组基矢(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客建立一个坐标系,矢量P可表示为一组坐标分量(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,即可表示为一组有序的数(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,可构成一个n×1阶的列矩阵X。这样就把矢量转化为一组标量,便于计算机处理。

不妨以二维空间为例,坐标基矢为(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,则矢量P可以表示为数组(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,或列矩阵

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如下图中的(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客坐标系所示:

(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

 图:一阶逆变张量

但是,同一个矢量P在不同的坐标系中会表现为不同的数组。就是说如果我们选定另一组基矢(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客建立另一个坐标系,矢量P则又可表示为另一组坐标分量(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,即可表示为另一个数组(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,也可构成另一个n×1阶的列矩阵X'。

不妨仍以二维空间为例,当坐标基矢组变换为(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客'时,则描述矢量P的数组变换成(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,也可记为列矩阵

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如上图中的(原创)什么是一阶张量?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客坐标系所示。

通过前几回的讨论我们知道,当坐标变换时,两组基矢之间的变换关系体现为一个过渡矩阵A。仍以二维空间为例,假定可记为

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或一般地对于n维空间写成

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其中基矢变换矩阵(过渡矩阵)A为n×n阶方阵

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一阶逆变张量的定义是说:当坐标基矢按如上矩阵A变换时,则矢量P的坐标分量却按矩阵B“逆转而变”成

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对于二维空间中即

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对于n维空间一般即

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其中坐标变换矩阵B也是一个n×n的方阵

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如果变换矩阵B恰是过渡矩阵A的转置逆矩阵

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则这样的矢量(一组数)就属于逆变量,叫做一阶逆变张量。

注意:上式中矩阵元素的指标次序倒置表示矩阵的转置。

可见,张量是一组数,其中随坐标基矢变换“逆转而变”者属于逆变张量,变换因子中只乘一次矩阵者叫做一阶张量。矢量就是一阶张量的典型实例。

一阶张量的几何意义如上图。中国古代汉语中“张”字的本义是指把弦安装到弓上,拉的紧绷绷的。英语中“张量”一词tensor也是“拉紧”的意思。作为某个一阶张量的矢量实体,是个客观存在的不变量,但我们采用不同的坐标系来描述它时,却表现为不同的坐标分量组合,张成不同的平行四边形,然而两个平行四边形的对角线(矢量实体)始终不变,描述的对象是同一个“量”,这样的量就是张量。

值得提醒大家的是,矢量是一阶张量的典型实例,但一阶张量不仅仅只有矢量。况且上述举例的矢量是一阶逆变张量,只不过是一阶张量中的一类,实际中还存在一阶协变张量。究竟什么是一阶协变张量呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-10-16于广东)

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