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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)一阶协变张量(图)  

2009-10-19 07:57:16|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回已经介绍了一阶逆变张量的概念,典型的实例就是矢量的一组n个分量,而且通常是在一组协变基矢下分解的坐标分量。简单的说,逆变张量就是坐标变换中的逆变量。

接下来我们介绍另一类一阶张量即一阶协变张量的概念。顾名思义,协变张量肯定是协变量,即随坐标基矢“协调一致”变换的一组数量。

我们先看一个实例,在白线性空间中有个不过原点的平面,我们可以选取不同的坐标系(坐标基矢)来描述它。不妨以二维空间中的直线l为例,假定直线l在第一个坐标系(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(基矢为(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客)中的方程为

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我们得到方程的一组系数(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,就是一个一维数组,可以写成一个列矩阵

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它可以代表一个张量。这个张量反映了直线l的客观存在,不因描述它的坐标系不同而改变。但在不同的坐标系里,表现出的分量或数组元素不同。如下图所示:

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图:一阶协变张量(直线方程的系数)

 

假定同一条直线l在第二个坐标系(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客(基矢为(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客')中的方程是

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则方程的系数数组就变成了(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客,也可以写成一个列矩阵

(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

根据以往的讨论我们知道,在同一空间里,这两组坐标基矢之间的变换关系为

(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

或一般地对于n维空间写成

(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

其中基矢变换矩阵(过渡矩阵)A为n×n阶方阵

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而直线方程的系数也按过渡矩阵A的规律,与坐标基矢协调一致地变换,即

(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

或对于n维空间一般写成

(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

(原创)一阶协变张量(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

可见直线方程的系数数组,在坐标变换中随坐标基矢按照过渡矩阵A的规律,也就是说与坐标基矢“协调一致”地变换。这样的一组数组就属于协变张量。在坐标变换过程中,作为乘法因子的变换矩阵A仅仅相乘了一次,所以属于一阶张量。

一般地,在n维线性空间的任一坐标系中给定一组有序的数

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如果当坐标基矢按某个过渡矩阵A变换时,这一组数Y也按A的规律变换,即变为

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则称这一组数为一个一阶协变张量。通常用下标变量表示。

注意:平面方程的系数是一阶协变张量的典型实例,但协变张量的实例不仅仅只有平面方程的系数组。此外,在坐标变换过程中,有些协变量或逆变量的变换因子中不一定只可以相乘一个变换矩阵,所以张量也不限于只有一阶的。

高阶张量是什么?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-10-19于广东)

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