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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)矢量的直积——并矢  

2009-10-21 23:59:44|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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前面已经介绍了一阶张量的概念,实际上二阶张量是最常用的张量。二阶以上(含二阶)的张量统称为高阶张量。在介绍高阶张量之前,我们先介绍一下矢量的直积。

矢量的直积是矢量之间最简单的一种乘法运算,其结果是张量,所以也叫做矢量的张量积,俗称并矢。举例说明如下:

设三维白线性空间中的任意两个矢量的线性表出分别为

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则两个矢量的直积就是一个并矢,属于二阶张量的一种,可记为

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注意:并矢的先后次序一般不可交换。即

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并矢既不是点积,也不是叉积,而是矢量的直积或直乘。因为其结果已经超出了原来的矢量空间,所以属于外积的一种。所谓直积运算就是一个矢量的所有线性组合项遍乘另一个矢量的所有线性组合项,类似于多项式乘法。如上例即

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可见三维空间中的一个二阶张量共有9个分量。本例的基矢都是自然基矢(协变基矢),分量都是逆变分量,所以这个张量属于一个二阶逆变张量。

如果用爱因斯坦求和约定,上述并矢(二阶张量)还可以简洁地表示为

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注意:两对哑标相乘时必须区别开。

其中基矢的并矢(原创)矢量的直积――并矢 - 周法哲 - 周法哲的博客 叫做基张量,本例中的基张量是两个基矢的并矢,所以属于二阶基张量。基张量对应的线性组合系数(原创)矢量的直积――并矢 - 周法哲 - 周法哲的博客 叫做张量的分量。对于两个n维矢量的并矢,有时也用完整的一组(原创)矢量的直积――并矢 - 周法哲 - 周法哲的博客个分量表示其运算结果(一个二阶张量),即

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矢量的直积运算还可以采用分量矩阵形式表示。如上例可表示为

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一组9个基张量也可以用矩阵表示为

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矢量的直积运算可以推广到多个矢量的并矢,即高阶张量。如三个矢量的直积(三重并矢)abc是一个三阶张量

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四个矢量的并矢abcd是一个四阶张量

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依此类推。为简便起见,张量可以只用一个大写字母(比如T)表示,代表阶数的横线通常可以省略。

当然最常用的是二阶张量,那么二阶张量的定义是什么?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-10-21于广东)

 

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