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周法哲的博客

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(原创)什么是二阶张量?  

2009-10-27 22:11:51|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回已经介绍了一阶张量的概念,实际上二阶张量是最常用的高阶张量。周法哲把形形色色的空间(欧氏空间和非黎曼空间等)返朴归真,退回到白线性空间,就是为了让我们看清张量概念的本质。在白线性空间中,二阶张量的古典定义如下:

在n维白线性空间的任一坐标系中给定一组有序的数

(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客

当坐标系的自然基矢按某个过渡矩阵(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客变换时,如果这一组数(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客的下标i也按过渡矩阵(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客的规律变换,而上标j却按过渡矩阵(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客的转置逆矩阵(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客变换,即:

(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客

则称这一组数(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客为一阶协变、一阶逆变的二阶张量

其中上式的右端采用了爱因斯坦求和约定,哑标i和j都从1到n求和。自由指标i' 和j' 都取从1到n的值,表明二阶张量有一组n^2个这样的线性组合式。

注意:二阶张量的下标是协变指标,上标是逆变指标,两者不能混淆。

可见张量是一组数(不是一个数),因为变换因子中有两个矩阵,所以叫做二阶张量。又因为当坐标基矢变换时,既有指标(下标)随基矢协调一致地变换(协变或曰共变),同时又有指标(上标)逆转而变(逆变或曰反变),所以叫做混变张量。也就是说,既有下标又有上标的张量叫做混变张量。只有一个上标和一个下标的张量就叫做二阶混变张量(如定义形式)。

例如,在n维白线性空间里定义的克罗内克尔符号

(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客

就是一个二阶张量,且是一阶协变、一阶逆变的二阶混变张量。

实际中,二阶张量还可以只有下标或只有上标。只有两个下标的张量叫做二阶协变张量;只有两个上标的张量叫做二阶逆变张量

例如,我们上一回讨论的并矢

(原创)什么是二阶张量? - 周法哲 - 周法哲的博客

就是一个二阶逆变张量。

张量既然是一组有规则的数,这些数就叫做张量的元素,也叫做张量的分量。在n维白线性空间里,一个二阶张量的元素(分量)有n^2个,可以组成一个n^2元数组或n×n阶矩阵。

通常把二阶以上的张量叫做高阶张量。那么更一般地高阶张量是如何定义的呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-10-27于广东)

 

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