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做过工,开过荒,教过书,扛过枪,当过干部仍在党,现任公司董事长。业余以探索天地人和谐之道为乐!

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(原创)白线性空间中的直线方程(图)  

2009-10-04 08:17:39|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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上一回说到,在同一空间里,坐标变换矩阵B是过渡矩阵(基矢变换矩阵)A的转置逆矩阵。当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时,矢量的坐标分量(或空间点的坐标)按照坐标变换矩阵B的规律变换。那么有没有什么对象的参量不按照坐标变换矩阵B的规律变换,而按照基矢变换矩阵A的规律变换呢?

设白线性空间(以二维空间为例)中有一条直线l,我们可以选取不同的直线坐标系来描述它。如下图所示:

 (原创)白线性空间中的直线方程(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

 图:白线性空间中的直线

假定在第一个坐标系Oxy中描述直线的方程为

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写成矩阵形式即

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而同一条直线l在第二个坐标系Ox'y'中描述的方程为

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写成矩阵形式即

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其中系数a,b和a',b'均为常数。我们来看看这两组系数之间有什么关系呢?

前面的讨论我们已经知道,在同一空间里,当坐标基矢按如下规律

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变换时,任一空间点的坐标(或矢量的坐标分量)必然按如下规律

(原创)白线性空间中的直线方程(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

变换。不妨代入上述直线第二个方程,有

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比较上述直线的第一个方程,则有

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根据转置矩阵的性质,即得两个方程系数组之间的关系

(原创)白线性空间中的直线方程(图) - 周法哲 - 周法哲的博客

可见直线方程系数的变换矩阵正是基矢变换矩阵(过渡矩阵)A。

这个结论表明:在同一个白线性空间中,同一条直线在两个不同的坐标系里有不同的描述方程,方程系数的变换规律与坐标基矢的变换规律完全相同。

注意:直线方程系数的变换规律不同于空间点坐标(或矢量坐标分量)的变换规律。

可见当坐标基矢按照过渡矩阵A变换时,其它对象的参量的变换就有两种变换规律。这两种变换规律的参量叫做什么呢?且听下回分解。

(作者:周法哲2009-10-4于广东)

 

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