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(原创)什么是双线性形式?(图)  

2010-01-07 05:29:59|  分类: 线性空间 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在现代数学中,双线性形式是最常用的双线性函数。什么是双线性形式呢?我们分层次介绍如下:

一、双线性形式的一般定义

如果双线性函数f是从X×Y到其自身基础域(底层域)K的映射时,即

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则称之为双线性形式双线性型。此时(原创)什么是双线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 。函数的值域(原创)什么是双线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

基础域K可以是数域F(包括实数域R或复数域C)。

二、一个空间上的双线性形式

特殊地,如果上述双线性形式中的线性空间X=Y时,即

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则称之为从线性空间X到基础域K的一个双线性形式双线性型。也叫做齐次双线性形式齐次双线性型

1:自然数的加法就是自然数集N上的一个双线性形式。即

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2:整数的乘法就是整数集Z上的一个双线性形式。即

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三、数域上的双线性形式

X,Y为数域F上的两个线性空间,从X×Y到其基础域F的双线性映射

(原创)什么是双线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

叫做数域F上的双线性形式。此时(原创)什么是双线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 。函数的值域(原创)什么是双线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

其中数域F可以是实数域R或复数域C

数域F上的双线性形式是双线性函数中最重要的一种特殊形式,对我们今后要讨论的标量积、内积、点积及二次形式等概念都非常有用。

四、实数域上的双线性形式

因为通常情况下我们讨论的线性空间都是实数域R上的向量空间,所以把从实线性空间V到实数域R的双线性映射

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称之为实数域R上的一个双线性形式。在不致混淆的情况下,通常也可以笼统称为双线性形式、双线性函数、双线性映射、双线性变换、双线性算子、二次齐次函数、双线性型。此时(原创)什么是双线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客 。函数的值域(原创)什么是双线性形式? - 周法哲 - 周法哲的博客

 

(原创)什么是双线性形式?(图) - 周法哲 - 周法哲的博客 

上述的是各种双线性形式的基本概念。双线性形式都有那些特性呢?且听周法哲下回分解。

(作者:周法哲2010-1-7于广东)

 

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